Ответы по гос эконометрике

1. Спецификация  экономических моделей

    Парная  линейная регрессия

    Линейная регрессия (теоретическое линейное уравнение регрессии) представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием М(Y½X=x_i) зависимой переменной Y и одной объясняющей переменной X (x_i — значения независимой переменной в i-ом наблюдении, i = l, 2, ..., n).

    М(Y½X=x_i) = b₀ + b₁×x_i.    (3.5)

    Для отражения того факта, что каждое индивидуальное значение y_i отклоняется от соответствующего условного математического ожидания, необходимо ввести в соотношение (3.5) случайное слагаемое e_i,

    y_i = М(Y½X=x_i) + e_i  = b₀ + b₁×x_i+ e_i. (3.6)

    Соотношение (3.6) называется теоретической линейной регрессионной моделью; b₀ и b₁ — теоретическими параметрами (теоретическими коэффициентами) регрессии; e_i — случайным отклонением.

    Следовательно, индивидуальные значения y_i представляются в виде суммы двух компонент: систематической (b₀ + b₁×x_i) и случайной (e_i). В общем виде теоретическую линейную регрессионную модель будем представлять в виде

    Y = b₀ + b₁×X+ e.   (3.7)

    Задачи линейного регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным (x_i, у_i, i = 1, 2, ..., n) для переменных X и Y:

    а) получить наилучшие оценки неизвестных  параметров b₀ и b₁;

    б) проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

    в) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими  данными (адекватность модели данным наблюдений).

    Следовательно, по выборке ограниченного объема мы сможем построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии

    y_теор(x_i) = a_* + b_*×x_i,  (3.8)

где y_теор(x_i) — оценка условного математического ожидания M(Y ÷ Х = x_i);

    a_* и b_* — оценки неизвестных параметров b₀ и b₁, называемые эмпирическими (выборочными) коэффициентами регрессии. Следовательно, в конкретном случае

    y_i = a_* + b_*×x_i+e_i,   (3.9)

где отклонение e_i — оценка теоретического случайного отклонения e_i.

    Коэффициенты a_* и b_* эмпирического уравнения регрессии могут быть оценены исходя из условия минимизации одной из следующих сумм:

    1)

    2)

    3)

    Однако  первая сумма не может быть мерой  качества найденных оценок в силу того, что существует бесчисленное количество прямых (в частности, Y = у_ср), для которых Se_i = 0.

    Метод определения оценок коэффициентов из условия минимизации второй суммы называется методом наименьших модулей (МНМ).

    Самым распространенным и теоретически обоснованным является метод нахождения коэффициентов, при котором минимизируется третья сумма. Он получил название метод наименьших квадратов (МНК). Среди других методов определения оценок коэффициентов регрессии отметим метод моментов (ММ), метод максимального правдоподобия (ММП) и метод центра неопределённости (МЦН).

Парная  нелинейная регрессия

    Нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т.п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и др.

    Могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.

    Все нелинейные регрессии делятся на два класса:

    1) регрессии, нелинейные по объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам:

    полиномы  разных степеней

    

;

    равносторонняя гипербола

    

;

    2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

    степенная ;

    показательная ;

    экспоненциальная  .

    Модель  множественной регрессии

    Множественная регрессия – это уравнение статистической связи с несколькими независимыми переменными:

,  (5.1)

где y — зависимая  переменная (результативный признак);

      x₁, x₂, …, x_p – независимые переменные (факторы). Все эти переменные входят в уравнение (5.1) с некоторыми коэффициентами.

    Возможны  разные виды уравнения множественной регрессии, чаще используются следующие функции: линейные и нелинейные.

     В линейной множественной регрессии  коэффициенты при х_i характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменных значениях других факторов, закреплённых на среднем уровне.

     При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления С_t имеет вид С_t = b₀ + b₁* R_t + b₂* R_t-1 +e_t, то потребление за t-й период времени зависит от дохода того же периода R_t и от дохода предшествующего периода R_t-1. Соответственно, коэффициент b₁ характеризует эффект от единичного возрастания дохода R_t при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b₁ обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на величину b = b₁+b₂. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная предельная склонность к потреблению.

     Функция потребления может рассматриваться  также в зависимости от прошлых привычек потребления, т.е. от предыдущего уровня потребления C_t-1:

С_t = b₀ + b₁×R_t + b₂×C_t-1 + e_t.

     В этом уравнении параметр b₁ также характеризует краткосрочную предельную склонность к потреблению, т.е. влияние на потребление единичного роста доходов того же периода. Долгосрочная предельная склонность к потреблению имеет вид b₁/(1- b₂).

     В степенной функции y_теор(x₁,x₂,…,x_p) = a×x1^b1 ×x2 ^b2 ×…×xp ^bp коэффициенты b1, b2, …, bp   являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил наибольшее распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления.

 

      2.Понятие корреляции. Виды коэффициентов  корреляции, экономический смысл их определения

    Корреляция - вероятностная или статистическая зависимость, не имеющая строго функционального характера. В отличие от функциональной, корреляционная зависимость возникает тогда, когда один из признаков зависит не только от данного второго, но и от ряда случайных факторов или когда среди условий, от которых зависят и тот и другой признаки, имеются общие для них обоих условия. В случае корреляционной зависимости, изменение одной случайной величины приводят к изменению среднего значения другой случайной величины. Особенность корреляции состоит в том, что связи обнаруживаются не в единичных случаях, а в массовых явлениях, следовательно, необходимо иметь как можно больше объектов наблюдения.

Корреляция  рассчитывается по формуле:

   (1)   - математическое ожидание х, - математическое ожидание y. (Математическое ожидание – среднее значение случай величины.)

cov (x,y) – ковариация переменных (ковариация определяет меру взаимодействия двух случайных переменных)

σ_x – стандартное отклонение x; σ_y – стандартное отклонение y.

           (2)

D(x) – дисперсия случайной величины х; D(y) – дисперсия случайной величины y. Дисперсия характеризует отклонение (разброс, рассеяние) значений случайной величины относительно среднего значения.

Формулу (1) можно  представить в виде:

  (3)

Коэффициенты  корреляции бывают следующих видов:

1)парные  коэффициенты корреляции

2)частные  коэффициенты корреляции

3)коэффициенты  множественной корреляции.

Парные коэффициенты корреляции используются для измерения тесноты связи между двумя переменными без учета их взаимодействия с другими переменными. Например,

                        

С помощью  парного линейного коэффициента корреляции выявляется связь между двумя признаками, один из которых можно рассматривать как результативный, другой — как факторный. Но в действительности на результат воздействуют несколько факторов. В связи с этим возникают два типа задач: задачи измерения комплексного влияния на результативную переменную нескольких переменных и задачи определения тесноты связи между двумя переменными при фиксированных значениях остальных переменных. Задачи первого типа решаются с помощью множественных коэффициентов корреляции, задачи второго типа — с помощью частных коэффициентов корреляции.

Частный, или чистый, коэффициент корреляции между двумя признаками (х и y) при исключении влияния третьего признака (z) рассчитывается по формуле:

остаточная дисперсия(остаточная сумма квадратов) = S2  

Если  выразить остаточную дисперсию через  показатель детерминации S2 остат = s2у*(1 - r2), то формула коэффициента частной корреляции примет вид:

 

В зависимости  от количества переменных, влияние  которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка: y= a+b1*x1+ b2*x2+ b3*x3

Коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на у фактора хi, при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле