Модели общего экономического равновесия

Тем не менее, модель Леона  Вальраса стала базовой для всей теории экономического равновесия в  неоклассической школе. Даже те, кто станет в последующем критиковать неоклассическую теорию, использовали модели, базирующиеся на модели Л. Вальраса, внося в нее необходимые изменения.

 

 

Заключение

Под макроэкономическим равновесием мы понимаем сбалансированность производства и потребления, ресурсов и их использования, спроса и предложения, факторов производства и его результатов, материально-вещественных и финансовых потоков; как соответствие между ресурсами и потребностями, как способ использования ограниченных ресурсов для создания рыночных товаров и услуг и их перераспределения между членами общества.

Одна из экономических  проблем - это проблема общего экономического равновесия - выбора, при котором  способ использования ограниченных производственных ресурсов (труда, земли, капитала) для создания различных товаров и их распределение между различными членами общества сбалансированы.

Общее экономическое  равновесие, по определению Вальраса, «это состояние, при котором эффективное  предложение и эффективный спрос  на производительные услуг уравниваются на рынке услуг, эффективное предложение и эффективный спрос на продукты уравниваются на рынке продуктов и, наконец, продажная цена равна издержкам производства, выраженным в производительных услугах».

Обычно равновесие достигается  ограничением потребностей (на рынке они всегда выступают в виде платежеспособного спроса), или увеличением и оптимизацией использования ресурсов. Экономика находится в постоянном движении, непрерывном развитии: изменяются фазы цикла, конъюнктура, доходы, происходят сдвиги в спросе. Все это говорит о том, что равновесное состояние только условно может рассматриваться как статичное.

Общее экономическое  равновесие - это сбалансированность всей экономики страны, система взаимосвязанных  и взаимосогласованных пропорций во всех сферах, отраслях, на всех рынках, у всех участников экономической деятельности, обеспечивающая нормальное развитие национального хозяйства.

 

 

Контрольная задача № 1

В специализированном мебельном магазине продаются 2 вида товаров (А и Б). Площадь торгового зала, трудовые ресурсы и издержки обращения ограничены. Известны нормативы затрат указанных ресурсов на единицу товарооборота каждого товара. В таблице приведены данные:

Объем ресурсов			Затраты ресурсов на ед. товара						Торговая прибыль от продажи единицы товара млн.руб.
Площадь торгового зала	Труд. Рес-сы, чел.-час	Издержки обращения, млн.руб.	Площадь торг.зала		Труд. Рес.-сы, чел.-час		Издержки обращения,  млн. руб.
			А	Б	А	Б	А	Б	А	Б
41	77	75	2	3	2	7	5	2	7	6

Определить  оптимальную структуру и объем товарооборота, который бы приносил максимальную прибыль.

Пусть x₁  - товара первого вида нужно продать

            x₂ - товара второго вида нужно продать

Ограничение по площади  торгового зала тогда примет вид:

2x₁ + 3x₂≤41.

Ограничение по трудовому ресурсу имеет вид:

2x₁+ 7x₂≤77.

Ограничение по издержкам  обращения имеет вид:

5x₁ + 2x₂≤75.

Функция прибыли имеет  вид:

7x₁ + 6x₂ → max.

Исходя из смысла переменных, накладываем на них ограничение  неотрицательности, получим:

2x₁ + 3x₂ ≤41

2x₁ + 7x₂≤77

           {   5x₁ + 2x₂≤75

            x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

Прибыль от реализации всей продукции f (x₁,  x₂) = 7x₁ + 6x₂  → max.

Приведем систему к  каноническому виду:

            2x₁ + 3x₂ + x₃ = 41

            2x₁ + 7x₂ + x₄ = 77

            5x₁ + 2x₂ + x₅= 75

Решим задачу симплекс —  методом.

 Составим первую  симплексную таблицу:

• первое ограничение канонического вида запишем в первую
• второе ограничение канонического вида запишем во вторую
• третье ограничение канонического вида запишем в третью.

Целевую функцию запишем в строку z

Б	З	x1	x2	x3	x4	x5
x3	41	2	3	1	0	0
x4	77	2	7	0	1	0
x5	72	5	2	0	0	1
z	0	-7	-6	0	0	0

 

В строке z есть отрицательный элемент, следовательно, начальный план не оптимальный. Найдем минимальный элемент строки z (-7). Переменная x₁ будет включена в базис. Столбец, соответствующий переменной x₁ ведущий. Подсчитаем симплексные отношения и найдем среди них минимальное min{!!! значит первая строка ведущая, а элемент a₃₁ — разрешающий элемент, следовательно, переменная x₅ выйдет из базиса. Проведем одну итерацию методом замещения Жордано-Гаусса. Столбцы x3,x4 останутся базисными. Столбец x₁ следует сделать единичным.

Новые данные в симплекс таблицу 2 заносим по следующему алгоритму:

1. Ведущий элемент 5, следовательно, нужно поделить третью строку на 5
2. Остальные элементы первого столбца делаем нулевыми.

Для этого полученную строку

умножаем на (-2) и прибавим к первой строке.

Умножаем строку на (-2) и складываем со второй строкой.

Умножаем строку на 7 и  складываем со строкой z.

Б	З	x1	x2	x3	x4	x5
x3	11	0	1		0
x4	47	0	0		1
x1	15	1	0		0
z	105	0	0		0

 

            В строке z есть отрицательные элементы, план не оптимальный.

Аналогично получаем следующую симплекс таблицу:

Б	З	x1	x2	x3	x4	x5
x2	5	0	1		0
x4	16	0	0		1
x1	13	1	0		0
z	121	0	0		0

 

В строке z все положительное, план оптимален.

Xº = (13;5;0;13;0)

fопт = 121 (млн.руб.).

Следовательно, необходимо продавать 13 единиц продукции первого  вида, 5 единиц продукции второго  вида. При этом прибыль будет максимальной и составит 121 млн.руб.

 

Контрольная задача №2

 

Четыре оптовых  склада обслуживают четыре магазина одним товаром. Необходимо составить  оптимальный план перевозок, который  имел бы минимальную стоимость. По следующим  данным:

 

	1	2	3	4	Наличие
1	8	3	4	9	40
2	8	6	5	6	80
3	10	12	9	9	120
4	8	11	5	10	30
Потребность	50	100	60	60

 

Проверим необходимое и достаточное  условие разрешимости задачи

∑a_і = 40+80+120+30 =270

∑b_j = 50+100+60+60=270

∑b_j=∑a_і

Занесем исходные данные в распределительную  таблицу:

		1	2	3	4	Потенциалы αi
		50	100	60	60
1	40	8 -	3 40	4 -	9 -	0
2	80	8 -	6 50	5 30	6 -	3
3	120	10 50	12 10	9 -	9 60	9
4	30	8 -	11 -	5 30	10 -	3
Потенциалы βi		1	3	2	0

 

 

Построим первый опорный  план методом наименьшего элемента:

Наименьшее значение стоимости перевозки в клетке (1;2) направим туда максимально возможный груз min {100;40}=40, следовательно, первая строка выходит из рассмотрения.

В клетку (4;3) направляем min {30;60}=30, следовательно, четвертая строка выходит из рассмотрения.

В клетку (2;3) направляем min {80;30}=30, следовательно, третий столбец выходит из расссмотрения.

В клетку (2;2) направляем min {50;60}=50, следовательно, вторая строка выходит из рассмотрения.

В клетку (3;4) направляем min {60;120}=60, следовательно, четвертый столбец выходит из рассмотрения.

В клетку (3;1) направляем min {50;60}=50, следовательно первый столбец выходит из рассмотрения.

В клетку (3;2) направляем оставшийся груз 10 единиц.

В результате получаем первый опорный план который является допустимым, так как все грузы из складов вывезены, запросы магазинов удовлетворены полностью.

Число занятых клеток 7, а должно быть 4+4-1=7.

Следовательно, план не является вырожденным.

Определим значение целевой  функции:

F(x₁)=40 · 3 + 50 · 6 + 30 · 5 + 50 · 10 + 10 · 12 + 60 · 9 + 30 · 5 =1880

Проверим оптимальность  полученного плана.

Найдем потенциалы α_i и β_i по занятым клеткам таблицы, решая систему уравнений, полагая, что  α_i + β_i =c_ij и α₁=0

     α₁ + β₂=3             α₁=0            

     α₂ + β₂=6             α₂=3

     α₂ + β₃=5             α₃=9

     α₃ + β₁=10           α₄=3

     α₃ + β₂=12           β₁=1

     α₃ + β₄=9             β₂=3

     α₄ + β₃=5             β₃=2

                                 β₄=0

Подсчитаем оценки свободных  клеток:

∆₁₁=8-(0+1)=7

∆₁₃=4-(2+0)=2

  ∆₁₄=9-(0+0)=9

∆₂₁ =8-(1+3)=4

   ∆₂₄=6-(0+3)=3

   ∆₃₃=9-(2+9)=-2<0

   ∆₄₁=8-(1+3)=4

   ∆₄₂=11-(3+3)=5

  ∆₄₄=10-(3+0)=7

   ∆₃₃<0, следовательно, первый план не оптимален.

Улучшаем план, перераспределив  груз.

Для клетки A₃B₃ строим цикл перераспределения груза.

    50                    30                                                                                                

+             -   -              +

    10                     (3;3)

 

 

→ 60                   20  

     (3;2)                10

 

В итоге получим новый опорный план II.

 

		1	2	3	4	Потенциалы α
		50	100	60	60
1	40	8 -	3 40	4 -	9 -	0
2	80	8 -	6 60	5 20	6 -	3
3	120	10 50	12 -	9 10	9 60	7
4	30	8 -	11 -	5 30	10 -	3
Потенциалы β		3	3	2	2