Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

x₁ + 2x₂ ≤ 6

2x₁ + x₂ ≤ 8

Решим систему уравнений:

 x₁ + 2x₂ = 6    *2                            

 2x₁ + x₂ = 8

 

2x₁+ 4x₂ = 12

2x₁ + x₂  = 8

3x₂= 4

x₂ = 1,333

Подставим: x₁+ 2 ·1,333 = 8;  x₁= 3,333.

Решив систему уравнений, получили: x₁= 3,333 ; x₂ = 1,333.

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

f(x) =3000x₁ + 2000x₂

f(x) =3000* 3,333 + 2000* 1,333 = 9999 +  2666 = 1266667 (ден. ед).

Если по условию  задачи решить на min,  f(x) =3000x₁ + 2000x₂ → min. Задача не будет иметь решения, так как целевая функция не ограничена снизу на ОДР, min f(x) = – ∞

Ответ: максимальный суточный доход от производства красок I и Е составит 12666.67 ден. ед. при ежедневном производстве краски I количестве 1.333 т, а краски Е в количестве 3,333 т.

Если решать задачу на минимум  min f(x) = – ∞, т.е. не будет иметь решений.

 

 

Задание 3.  Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Вариант №5

В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	5	7	10	12	15	18	20	23	26

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ_t = a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ_t – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с точностью до одного знака  после запятой.  Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использования компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

 

Решение:

1. Выявление аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа. Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Для диагностики аномальных  наблюдений  воспользуемся методом Ирвина. Для всех или только для подозреваемых в анормальности наблюдений вычисляется величина:

λ _t =

,

где

.

 

Находим ( или 1/9*СУММ(B2:B10). Затем вычислим разность квадратов (y_t–ӯ)². Далее находим сумму этого ряда

(y_t–ӯ)² = 416,8889. Затем со всеми известными находим

 S_y = КОРЕНЬ(C11/8)= 7,218803 ≈ 7,2. Соответственно теперь мы может вычислить λ для каждого t.  λ₃= (7-5) / 7,2= 0,27777 ≈ 0,3, аналогично вычислим остальные λ _t  (Таблица 3.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.1

 

Сравниваем  рассчитанные величины λ_t  с табличными значениями (Критические значения критерия Ирвина λ : 1,5).

Если  бы рассчитанная величина превышала  табличные значения

(λ_t > λ_табл), то уровень считался бы аномальным. В нашем случае или в нашем ряду нет аномальных точек, так как все значения меньше  чем табличного значения λ.

 

2. Построим линейную модель  Ŷ(t) = a₀+a₁t.

Для начала построим линейную модель регрессии  Y от t. Для проведения регрессионного анализа воспользуемся MS Excel Анализ данных, выберем инструмент Регрессия. В результате получим значения в виде таблиц и графиков (Таблица 3.2, График 1, График 2). 

Таблица 3.2

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,999013
R-квадрат	0,998028
Нормированный R-квадрат	0,997746
Стандартная ошибка	0,342725
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	416,0667	416,0667	3542,189	9,92E-11
Остаток	7	0,822222	0,11746
Итого	8	416,8889
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	1,944444	0,248984	7,809521	0,000106	1,355691	2,533198	1,355691	2,533198
t	2,633333	0,044246	59,51629	9,92E-11	2,528709	2,737958	2,528709	2,737958
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное y(t)	Остатки
1	4,577778	0,422222
2	7,211111	-0,21111
3	9,844444	0,155556
4	12,47778	-0,47778
5	15,11111	-0,11111
6	17,74444	0,255556
7	20,37778	-0,37778
8	23,01111	-0,01111
9	25,64444	0,355556

 

График 1

 

График 2

 

В таблице 2 второй столбец содержит коэффициенты уравнения регрессии a_0, a_{1 .}

Кривая  роста имеет вид :

Ŷ(t) = 1,944 + 2,633t

 

Оценим параметры модели «вручную». В таблице приведены промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (таблица 3.3).

Таблица 3.3

 

В результате расчетов получаем те же результаты (все  данные берем из таблицы):

a_{1   =}    

a_{0  =} 

15,1111 - 2,6333 * 5 = 1,94445 ≈ 1,944.

Построили  линейную модель : Ŷ(t) = 1,944 + 2,633t.

 

3. Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели,  и фактических наблюдений (таблица 3.4). 

Таблица 3.4

 

А) При проверке независимости ( отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряде остатков систематической составляющей, с помощью dw- критерия Дарбина –Уотсона по формуле (данные для расчета берем из таблицы 3.4).

 

dw´ = 4 – dw = 4-2,281 = 1,719 ≈ 1,7

 

 

 

 

Так как ¯dw=1,7 попало в интервал  от d₂ до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

_{Также dw´ можно сравнивнить с табличными значениями}

_{d2 = 1,32 < dw´ = 1,719 < 2, следовательно свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция отсутствует.}

Б) Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек, по формуле :

     Где p – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду,

1,96 – квантиль  нормального распределения для  5% уровня значимости. Квадратные  скобки здесь означают, что от  результата вычисления следует  взять целую часть. 

     Количество поворотных точек p при n = 9 равно 5 (график 3).

 

 

 

График 3

 

 

Вычислим:

5 > 3

 

Неравенство выполняется 5 > 3. Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

В) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью RS – критерия :

RS = ( e_{max –} e_min) /S

где e_max – максимальный уровень ряда остатков, e_max= 0,422 (таблица 4);

e_min– минимальный уровень ряда остатков , e_min= - 0,478, а cреднеквадратичное отклонение   S = √ 1 / n – 1 ∑ e²_t =  0,321

Получаем RS = 0,422 – (-0,478)   /  0,321 = 2,803 ≈ 2,8

Критическими  значениями R/S является интервал 2,7 – 3,7.

2,7 < R/S = 2,8 < 3,7. Расчетное значение попадает внутрь табличного интервала, значит свойство выполняется, распределение остаточной компоненты соответствует нормальному закону распределения.

4. Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн. (таблица 3.5)

Таблица 3.5

_{Находим сначало:}

0,22462573 ≈ 0,225

 

Е_отн < 7%, модель считается точной. Расчетные значения спроса отличаются от фактических у(t) на 2,5%.

Линейная  трендовая модель является адекватной и точной, следовательно она качественная и ее можно использовать для дальнейшего  прогнозирования.

5. Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + k;                                                         

y _{прогн ( n+ k )} = a₀ + a₁( n+k)

a₁ = 2,633

a₀= 1,944

Вычислим :

y₁₀ = 1,9444 + 2,633* 10 =  28,274 ≈ 28,3

y₁₁ = 1,9444 + 2,633* 11 = 30,907 ≈ 30,9

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал.  При уровне значимости α = 0,3 доверительная вероятность равна

70 %, а критерий  Стьюдента при γ = n – 2 = 9-2= 7 . Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U ( k ) = S _e t_α  1+1 / n + ( n + k - ¯ t ) ² / 

( t - ¯ t ) ²,

 

_где  S_e = √ (1 / n – p)*

e²_t  ,   

- ширина доверительного интервала.

S_прогн – средняя квадратическая ошибка прогноза

t_α – критерий Стьюдента

t_{α, γ}  =СТЬЮДРАСПОБР(0,3; 7) = 1,119159 ≈ 1,1 (это значение получили с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР в Excel) ( Таблица 3.6).

Таблица 3.6

,  сумма (t-t¯)^2 = 60 (находим из табл.3.3).

     

(10) = 1,119 ∙ 0,424 = 0,474    (11) = 1,119 ∙ 0,449 = 0,502

Далее вычислим верхнюю и нижнюю границу прогноза (таблица 3.7)

y_{прогн ( n+ k )}+U ( k )  верхняя граница.

Вычислим  y₁₀ =28,274 + 0,474 = 28,748        

                  y₁₁ =30,907 + 0,502 = 31,409.

 

y_{прогн ( n+ k )} - U ( k ) нижняя граница.

Вычислим  y₁₀ =28,274 - 0,474 =  27,8

                 y₁₁ =30,907 - 0,502 = 30,405.

Таблица 3.7

n+k	U(k)	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) = 0,474	28,274	28,748	27,800
11	U (2) =0,502	30,907	31,409	30,405

 

 28,274 ± 0,474 – интервальный прогноз при к=1

27,800 –  нижняя граница

28,748 –  верхняя граница

 

30,907 ±  0,502 – интервальный прогноз при  к=2

30,405 –  нижняя граница 

31,409 –  верхняя граница

С вероятностью 70 % можно утверждать, что спрос  на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю окажется в пределах от 27,8 млн.руб. до 28,748 млн.руб., а на 11-ую неделю – от 30,405 до 31,409 млн.руб.

Построим  график результатов моделирования  и прогнозирования

(рис. 3.1.):

 

Рис. 3.1. Результаты моделирования и прогнозирования

Ответ:

1. Так как полученные λ_t меньше критического уровня, то это означает, что аномальных наблюдений нет.

2. Модель имеет вид Ŷ(t) = 1,944 + 2,633t

3. Модель по всем параметрам адекватна.

4. Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн. = 2,5 % - хороший уровень точности модели

5. Прогноз на следующие две недели:

y₁₀ = 1,9444 + 2,633* 10 =  28,274 ≈ 28,3

y₁₁ = 1,9444 + 2,633* 11 = 30,907 ≈ 30,9

 

 

 

 

 

Задание 4. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

Вариант 4.5

Дистрибьюторская  фирма заказывает компьютеры у фирмы  производителя. Издержки на одну партию заказа составляют 5000 руб., издержки на хранение 2000 руб. в год. Годовой спрос  составляет 9000 шт. Дистрибьютор работает 300 дней в году. Определите оптимальный  размер заказа, число заказов в  течение года и совокупные издержки на заказ и хранение. Постройте  график общих годовых затрат.