Контрольная работа по "Эконометрике"

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального  образования

Владимирский государственный  университет

Кафедра ФиЭТ

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»

 

Вариант №9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

По предприятию легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Найти:

1. Найти параметры уравнения  линейной регрессии, дать экономическую  интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок  МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость  уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80 % от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения  Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

9. Для указанных моделей  найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

 

Таблица значений

 

X	12	4	18	27	26	29	1	13	26	5
Y	21	10	26	33	34	37	9	21	32	14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y прямая, сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет  вид:

Значение параметров а и b линейной модели определим, используя данные табл. 1.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции  увеличиться в среднем на 968 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 98,8 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

2. Вычислим остатки

 

t	Факт	Расчет	Ошибка абс.	Ошибка относит.
1	21	19,73	1,27	6,048	1,613
2	10	11,99	-1,99	19,9	3,960
3	26	25,54	0,46	1,769	0,212
4	33	34,25	-1,25	3,788	1,563
5	34	33,28	0,72	2,118	0,518
6	37	36,19	0,81	2,189	0,656
7	9	9,08	-0,08	0,889	0,006
8	21	20,70	0,3	1,429	0,090
9	32	33,28	-1,28	4	1,638
10	14	12,96	1,04	7,429	1,082
Итого	237			49,559	11,338
Ср. знач.	23,7			4,956

 

 

3. Проверим  выполнение предпосылок МНК

Предпосылки построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия  Гаусса-Маркова.

1. в уравнение линейной модели - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной .
2. математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равна нулю, а дисперсия постоянна.
3. случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).
4. распределение случайного члена является нормальным.

1. свойство случайности

Проверку случайности остаточной компоненты проведем по критерию поворотных точек. Количество поворотных точек  определим по графику остатков: р = 7.

Вычислим критическое значение по формуле:

При n = 10, р_кр. = 2, тогда р = 7> р_кр. = 2, следовательно, свойство случайности для ряда остаток выполняется.

2. Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически. Проверка гомоскедастичности остатков проводиться методом Голдфельда – Кванта.

Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х. разделим на две группы – с большим и меньшим х, и для каждой группы определим уравнения регрессии.

 

t	x	y	yx	x2
1	1	9	9	1	8,508	0,492	5,467	0,242
2	4	10	40	16	11,754	-1,754	17,54	3,077
3	5	14	70	25	12,836	1,164	8,314	1,355
4	12	21	252	144	20,41	0,59	2,81	0,348
5	13	21	273	169	21,492	-0,492	2,343	0,242
Итого	35	75	644	355			36,474	5,264
Ср. знач.	7	15	128,8	71			3,647
6	18	26	468	324	25,726	0,274	1,054	0,075
7	26	32	832	676	33,142	-1,142	3,569	1,304
8	26	34	884	676	33,142	0,858	2,524	0,736
9	27	33	891	729	34,069	-1,069	3,239	1,143
10	29	37	1073	841	35,923	1,077	2,911	1,160
Итого	126	162	4148	3246			13,297	4,418
Ср. знач.	25,2	32,4	829,6	649,2			1,329

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значение параметров а  и b линейной модели определим, используя данные табл.

Уравнение линейной регрессии  имеет вид:

Рассчитаем остаточные суммы квадратов  для каждой регрессии

Вычислим F – распределение

, при α = 0,05; k₁ = m = 2, k₂ = n-m-1 = 3 F_табл. = 5,32

F<F_табл. = 5,32, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.

3. независимость ряда остатков

Проверяют с помощью  d-критерия Дарбина-Уотсона

t
1	1,27
2	-1,99	1,27	-0,72	0,518
3	0,46	-1,99	-1,53	2,341
4	-1,25	0,46	-0,79	0,624
5	0,72	-1,25	-0,53	0,281
6	0,81	0,72	1,53	2,341
7	-0,08	0,81	0,73	0,533
8	0,3	-0,08	0,22	0,048
9	-1,28	0,3	-0,98	0,960
10	1,04	-1,28	-0,24	0,058
Итого				7,705

Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной корреляции.

4. свойство нормального распределения

Соответствие ряда остатков нормальному  закону распределения проверим с  помощью R/S – критерия.

-стандартная ошибка

-критическому интервалу, следовательно,  критерий выполняется, и остаточная  компонента распределена по нормальному  закону.

Вывод: Для данной модели выполняются все условия Гаусса-Маркова, т.е. выполняются все предпосылки для построения классической линейной регрессионной модели.

4. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. уравнение регрессии с вероятностью0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,956%. Поскольку средняя относительная ошибка меньше 5%, то точность модели можно считать высокой.

5. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью t-критерия Стьюдента.

Определим стандартные ошибки m_a, m_b, m_rxy (остаточная дисперсия на одну степень свободы )

Тогда

t-статистики > t_табл. = 2,31, для α = 0,05; df = n-2 = 8, поэтому параметры m_a, m_b, m_rxy не случайно отличны от нуля, они статически значимы.

6. Осуществим  прогнозирование среднего значения  показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

X = 23,2 млн. руб., тогда

Рассчитаем прогнозный интервал:

1. зададим доверительную вероятность γ = 1-α
2. рассчитаем стандартную ошибку прогнозирования

3. размах доверительного интервала t_табл. = 1,86

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 23,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит от 28,2 до 32,94 млн. руб.

7. Представим  графически: фактические и модельные  значения Y, точки прогноза