Экономико-математическое моделирование структуры кормового рациона сельскохозяйственных животных

В задаче используются следующие  группы ограничений:

Основные ограничения - необходимы для записи условий по балансу питательных веществ. Технико-экономические коэффициенты в этих ограничениях обозначают содержание соответствующих питательных веществ в единице корма (в 1 кг). Константы в правой части ограничений (объемы) показывают количество питательных веществ, которое должно содержаться в рационе. Основные ограничения по содержанию питательных веществ в рационе:

∑ a_ij x_j ≥ (≤) b_i ;

j є J; i є I,    

где a_ij - содержание i-го вида питательного вещества в j-ом виде корма;

  x_j - искомое количество j-го вида корма в рационе;

b_i - минимально (максимально) допустимое количество i-го питательного вещества в рационе;

I — количество видов питательных веществ, рассматриваемых в рационе;

j — порядковый номер вида корма;

i – порядковый номер питательного вещества.

С помощью дополнительных ограничений записывают условия  по соотношению отдельных групп  кормов в рационе и отдельных видов кормов внутри групп. Если эти соотношения выражены в весовых единицах, то технико-экономическими коэффициентами по основным переменным соответствующих групп кормов являются единицы или величины, характеризующие удельный вес данного вида или группы корма в рационе (коэффициенты пропорциональности). Константы обозначают минимальное или максимальное зоотехнически допустимое количество данной группы корма в рационе.

Дополнительные ограничения  по содержанию отдельных видов кормов в рационе:

∑ a_ij x_j ≥ (≤) a_Ki x_i ;

∑ a_ij x_j - a_Ki x_i ≥ (≤) 0;

j є J; i є k; k є К,   

где a_k – минимальный (максимальный) удельный вес i-го питательного вещества k-ой группы кормов в общем количестве i-го вида питательного вещества в рационе;

x_i — вспомогательные переменные, отражающие количество i-го вида питательного вещества в рационе;

k — множество кормов, входящих в К-ую группу;

K — множество групп кормов.

Дополнительные ограничения  по соотношению отдельных видов  кормов в рационе:

∑ с_kj x_j - d_kj x_j ≤ 0;

i є k; k є К,

где с_kj, d_kj — коэффициенты пропорциональности рассматриваемых двух групп кормов.

Вспомогательные ограничения - с их помощью записывают условия  по суммарному количеству кормовых единиц, перевариваемого протеина, а также  кальция и фосфора. Технико-экономические коэффициенты по основным переменным (так же, как и в основных ограничениях) отражают содержание питательных веществ в единице корма или кормовых добавок, а по вспомогательным переменным равны – 1. Константами в этих ограничениях являются нули.

∑ a_ij x_j = x_i ;

∑ a_ij x_j - x_i = 0.

Условия неотрицательности  переменных:

x_i  ≥ 0; x_j ≥ 0.

Целевая функция - ее можно  выразить следующим образом: из имеющихся  в наличии кормов составить такой  рацион, который по содержанию питательных  веществ, соотношению отдельных видов и групп полностью отвечал бы требованиям животных и одновременно был бы самым дешевым. Критерий оптимальности – минимум стоимости рациона, т.к. основной целью задачи является снижение стоимости рациона. Задача представляется так: найти такое количество х_i кормов, при котором достигается минимум затрат на корма:

∑  c_j x_j → min;

j є J,

где x_j - искомое количество j-го вида корма в рационе в натуральных единицах (гр, кг, ц);

J - количество видов корма;

c_j - оценка единицы j-го вида корма в единицах критерия оптимальности (руб., коп).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Математическая запись ЭММ

 

I. Ограничения по содержанию питательных веществ в рационе (см. таблицы 1,2):

1) по содержанию кормовых единиц в рационе, кг:

1,15Х₁ + 1,15Х₂ + 1,28Х₃ + 0,75Х₄ + 1,08Х₅ + 1,18Х₆ + 0,47Х₇ + 0,46Х₈ + 0,48Х₉ + 0,22Х₁₀ + 0,35Х₁₁ + 0,2Х₁₂ + 0,2Х₁₃ + 0,23Х₁₄ + 0,3Х₁₅ + 0,14Х₁₆ + 0,12Х₁₇ + 0,25Х₁₈ + 0,24Х₁₉ + 0,2Х₂₀ + 0,21Х₂₁ ≥ 17,7;

2) по содержанию переваримого  протеина в рационе, г:

85Х₁ + 91Х₂ + 106Х₃ + 97Х₄ + 324Х₅ + 192Х₆ + 53Х₇ + 123Х₈ + 50Х₉ + 9Х₁₀ + 33Х₁₁ + 14Х₁₂ + 27Х₁₃ + 24Х₁₄ + 10Х₁₅ + 8Х₁₆ + 9Х₁₇ + 30Х₁₈ + 25Х₁₉ + 27Х₂₀ + 26Х₂₁ + 2200Х₂₂ ≥ 1860;

3) по содержанию  сухого вещества в рационе,  кг:

а) min: 0,85Х₁ + 0,85Х₂ + 0,85Х₃ + 0,85Х₄ + 0,9Х₅ + 0,85Х₆ + 0,83Х₇ + 0,84Х₈ + 0,85Х₉ + 0,85Х₁₀ + 0,45Х₁₁ + 0,25Х₁₂ + 0,25Х₁₃ + 0,25Х₁₄ + 0,22Х₁₅ + 0,12Х₁₆ + 0,12Х₁₇ + 0,37Х₁₈ + 0,33Х₁₉ + 0,24Х₂₀ + 0,3Х₂₁ ≥ 22,1;

б) max: 0,85Х₁ + 0,85Х₂ + 0,85Х₃ + 0,85Х₄ + 0,9Х₅ + 0,85Х₆ + 0,83Х₇ + 0,84Х₈ + 0,85Х₉ + 0,85Х₁₀ + 0,45Х₁₁ + 0,25Х₁₂ + 0,25Х₁₃ + 0,25Х₁₄ + 0,22Х₁₅ + 0,12Х₁₆ + 0,12Х₁₇ + 0,34Х₁₈ + 0,33Х₁₉ + 0,24Х₂₀ + 0,3Х₂₁ ≤ 22,1*1,25;

0,85Х₁ + 0,85Х₂ + 0,85Х₃ + 0,85Х₄ + 0,9Х₅ + 0,85Х₆ + 0,83Х₇ + 0,84Х₈ + 0,85Х₉ + 0,85Х₁₀ + 0,45Х₁₁ + 0,25Х₁₂ + 0,25Х₁₃ + 0,25Х₁₄ + 0,22Х₁₅ + 0,12Х₁₆ + 0,12Х₁₇ + 0,37Х₁₈ + 0,33Х₁₉ + 0,24Х₂₀ + 0,3Х₂₁ ≤ 27,6;

4) по содержанию каротина  в рационе, мг:

0,4Х₁ + 2Х₂ + 1Х₃ + 2,6Х₄ + 2Х₅ + 0,2Х₆ + 21Х₇ + 30Х₈ + 15Х₉ + 5Х₁₀ + 35Х₁₁ + 20Х₁₂ + 35Х₁₃ + 20Х₁₄ + 0,2Х₁₅ + 54Х₁₆ + 0,1Х₁₇ + 45Х₁₈ + 55Х₁₉ + 40Х₂₀ + 43Х₂₁ ≥ 795;

5) по содержанию кальция  в рационе, г:

2Х₁ + 0,9Х₂ + 0,8Х₃ + 2Х₄ + 5,9Х₅ + 2Х₆ + 7,6Х₇ + 10,4Х₈ + 7,1Х₉ + 3,3Х₁₀ + 5,5Х₁₁ + 1,4Х₁₂ + 4,2Х₁₃ + 1,9Х₁₄ + 0,2Х₁₅ + 0,9Х₁₆ + 0,4Х₁₇ + 2,8Х₁₈ + 2,8Х₁₉ + 3,7Х₂₀ + 1,6Х₂₁ + 150Х₂₄ ≥ 123,9;

6) по содержанию фосфора  в рационе, г:

3,9Х₁ + 2,8Х₂ + 3,6Х₃ + 9,6Х₄ + 12,9Х₅ + 4,3Х₆ + 2,5Х₇ + 2,7Х₈ + 2,2Х₉ + 0,9Х₁₀ + 0,7Х₁₁ + 0,4Х₁₂ + 0,9Х₁₃ + 0,9Х₁₄ + 0,5Х₁₅ + 0,6Х₁₆ + 0,5Х₁₇ + 0,9Х₁₈ + 0,9Х₁₉ + 0,6Х₂₀ + 0,8Х₂₁ + 220Х₂₄ ≥ 88,5;

7) по содержанию сырой  клетчатки в рационе, г:

а) min: 49Х₁ + 21Х₂ + 17Х₃ + 88Х₄ + 129Х₅ + 54Х₆ + 265Х₇ + 238Х₈ + 263Х₉ + 351Х₁₀ + 143Х₁₁ + 75Х₁₂ + 70Х₁₃ + 77Х₁₄ + 8Х₁₅ + 11Х₁₆ + 9Х₁₇ + 105Х₁₈ + 102Х₁₉ + 61Х₂₀ + 82Х₂₁ ≥ 4950;

б) max: 49Х₁ + 21Х₂ + 17Х₃ + 88Х₄ + 129Х₅ + 54Х₆ + 265Х₇ + 238Х₈ + 263Х₉ + 351Х₁₀ + 143Х₁₁ + 75Х₁₂ + 70Х₁₃ + 77Х₁₄ + 8Х₁₅ + 11Х₁₆ + 9Х₁₇ + 105Х₁₈ + 102Х₁₉ + 61Х₂₀ + 82Х₂₁ ≤ 4950*1,15;

49Х₁ + 21Х₂ + 17Х₃ + 88Х₄ + 129Х₅ + 54Х₆ + 265Х₇ + 238Х₈ + 263Х₉ + 351Х₁₀ + 143Х₁₁ + 75Х₁₂ + 70Х₁₃ + 77Х₁₄ + 8Х₁₅ + 11Х₁₆ + 9Х₁₇ + 105Х₁₈ + 102Х₁₉ + 61Х₂₀ + 82Х₂₁ ≤ 5692;

8) по содержанию сахара  в рационе, г:

2Х₁ + 15Х₂ + 20Х₃ + 47Х₄ + 63Х₅ + 55Х₆ + 26Х₇ + 27Х₈ + 20Х₉ + 3Х₁₀ + 16Х₁₁ + 6Х₁₂ + 5Х₁₃ + 4Х₁₄ + 10,5Х₁₅ + 35Х₁₆ + 40Х₁₇ + 24Х₁₈ + 24Х₁₉ + 12Х₂₀ + 32Х₂₁ ≥ 1860;

9) по содержанию обменной  энергии в рационе, МДж:

10,5Х₁ + 10,3Х₂ + 10,8Х₃ + 8,85Х₄ + 10,44Х₅ + 11,1Х₆ + 6,75Х₇ + 6,9Х₈ + 6,85Х₉ + 4,91Х₁₀ + 3,85Х₁₁ + 2,3Х₁₂ + 2,26Х₁₃ + 2,45Х₁₄ + 2,82Х₁₅ + 2,2Х₁₆ + 1,65Х₁₇ + 3Х₁₈ + 2,29Х₁₉ + 1,87Х₂₀ + 2,48Х₂₁ ≥ 207.

II. Ограничения по содержанию отдельных групп кормов в рационе, кг (см. таблицу 3):

1) концентрированные корма:

а) min: 1,15Х₁ + 1,15Х₂ + 1,28Х₃ + 0,75Х₄ + 1,08Х₅ + 1,18Х₆ ≥ 0,15Х₂₅ ;

1,15Х₁ + 1,15Х₂ + 1,28Х₃ + 0,75Х₄ + 1,08Х₅ + 1,18Х₆ - 0,15Х₂₅ ≥ 0;

б) max: 1,15Х₁ + 1,15Х₂ + 1,28Х₃ + 0,75Х₄ + 1,08Х₅ + 1,18Х₆ ≤ 0,4Х₂₅;

1,15Х₁ + 1,15Х₂ + 1,28Х₃ + 0,75Х₄ + 1,08Х₅ + 1,18Х₆ - 0,4Х₂₅ ≤ 0;

2) грубые корма:

а) min: 0,47Х₇ + 0,46Х₈ + 0,48Х₉ + 0,22Х₁₀ + 0,35Х₁₁ ≥ 0,09Х₂₅;

0,47Х₇ + 0,46Х₈ + 0,48Х₉ + 0,22Х₁₀ + 0,35Х₁₁ - 0,09Х₂₅ ≥ 0;

б) max: 0,47Х₇ + 0,46Х₈ + 0,48Х₉ + 0,22Х₁₀ + 0,35Х₁₁ ≤ 0,18Х₂₅;

0,47Х₇ + 0,46Х₈ + 0,48Х₉ + 0,22Х₁₀ + 0,35Х₁₁ - 0,18Х₂₅ ≤ 0;

3) силос:

а) min: 0,2Х₁₂ + 0,2Х₁₃ + 0,23Х₁₄ ≥ 0,17Х₂₅ ;

0,2Х₁₂ + 0,2Х₁₃ + 0,23Х₁₄ - 0,17Х₂₅ ≥ 0;

б) max: 0,2Х₁₂ + 0,2Х₁₃ + 0,23Х₁₄ ≤ 0,31Х₂₅;

0,2Х₁₂ + 0,2Х₁₃ + 0,23Х₁₄ - 0,31Х₂₅ ≤ 0;

4) корнеплоды:

а) min: 0,3Х₁₅ + 0,14Х₁₆ + 0,12Х₁₇ ≥ 0,06Х₂₅; 

0,3Х₁₅ + 0,14Х₁₆ + 0,12Х₁₇ - 0,06Х₂₅ ≥ 0;

б) max: 0,3Х₁₅ + 0,14Х₁₆ + 0,12Х₁₇ ≤ 0,15Х₂₅;

0,3Х₁₅ + 0,14Х₁₆ + 0,12Х₁₇ - 0,15Х₂₅ ≤ 0;

5) зеленые корма: 

а) min: 0,25Х₁₈ + 0,24Х₁₉ + 0,2Х₂₀ + 0,21Х₂₁ ≥ 0,2Х₂₅; 

0,25Х₁₈ + 0,24Х₁₉ + 0,2Х₂₀ + 0,21Х₂₁ - 0,2Х₂₅ ≥ 0;

б) max: 0,25Х₁₈ + 0,24Х₁₉ + 0,2Х₂₀ + 0,21Х₂₁ ≤ 0,3Х₂₅;

0,25Х₁₈ + 0,24Х₁₉ + 0,2Х₂₀ + 0,21Х₂₁ - 0,3Х₂₅ ≤ 0.

III. Ограничения по соотношению отдельных видов кормов в рационе (см. таблицу 4):

1) отруби пшеничные  в концентратах:

Х₄ ≤ 0,25 (Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ + Х₅ + Х₆);

- 0,25Х₁ - 0,25Х₂ - 0,25Х₃ + 0,75Х₄ - 0,25Х₅ - 0,25Х₆ ≤ 0;

2) жмых подсолнечный  в концентратах:

Х₅ ≤ 0,08 (Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ + Х₅ + Х₆);

- 0,08Х₁ - 0,08Х₂ - 0,08Х₃ - 0,08Х₄ + 0,92Х₅ - 0,08Х₆ ≤ 0;

3) горох в концентратах:

Х₆ ≤ 0,08 (Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ + Х₅ + Х₆);

- 0,08Х₁ - 0,08Х₂ - 0,08Х₃ - 0,08Х₄ - 0,08Х₅ + 0,92Х₆ ≤ 0;

4) солома в грубых  кормах:

Х₁₀ ≤ 0,1 (Х₇ + Х₈ + Х₉ + Х₁₀ + Х₁₁);

- 0,1Х₇ - 0,1Х₈ - 0,1Х₉ + 0,9Х₁₀ - 0,1Х₁₁ ≤ 0;

5) сенаж многолетних  трав в грубых кормах:

Х₁₁ ≤ 0,4 (Х₇ + Х₈ + Х₉ + Х₁₀ + Х₁₁);

- 0,4Х₇ - 0,4Х₈ - 0,4Х₉ - 0,4Х₁₀ + 0,6Х₁₁ ≤ 0;

6) картофель в корнеплодах:

Х₁₅ ≤ 0,08 (Х₁₅ + Х₁₆ + Х₁₇);

0,92Х₁₅ - 0,08Х₁₆ - 0,08Х₁₇ ≤ 0.

IV. Ограничения по содержанию кормовых добавок в рационе (см. таблицу 5):

1) карбамид в весе  переваримого протеина, г:

2200Х₂₂ ≤ 0,25Х₂₆ ;

2200Х₂₂ - 0,25Х₂₆ ≤ 0;

2) поваренная соль в  весе рациона, кг:

Х₂₃ = 0,01Х₂₉ ;

Х₂₃ - 0,01Х₂₉  = 0;

3) монокальцийфосфат в  весе кальция, г:

150Х₂₄ ≤ 0,1Х₂₇ ;

150Х₂₄ - 0,1Х₂₇  ≤ 0;

4) монокальцийфосфат в  весе фосфора, г:

220Х₂₄ ≤ 0,1Х₂₈ ;

220Х₂₄ - 0,1Х₂₈  ≤ 0.

V. Вспомогательные ограничения:

1) Всего кормовых единиц, кг:

1,15Х₁ + 1,15Х₂ + 1,28Х₃ + 0,75Х₄ + 1,08Х₅ + 1,18Х₆ + 0,47Х₇ + 0,46Х₈ + 0,48Х₉ + 0,22Х₁₀ + 0,35Х₁₁ + 0,2Х₁₂ + 0,2Х₁₃ + 0,23Х₁₄ + 0,3Х₁₅ + 0,14Х₁₆ + 0,12Х₁₇ + 0,25Х₁₈ + 0,24Х₁₉ + 0,2Х₂₀ + 0,21Х₂₁ = Х₂₅ ;

1,15Х₁ + 1,15Х₂ + 1,28Х₃ + 0,75Х₄ + 1,08Х₅ + 1,18Х₆ + 0,47Х₇ + 0,46Х₈ + 0,48Х₉ + 0,22Х₁₀ + 0,35Х₁₁ + 0,2Х₁₂ + 0,2Х₁₃ + 0,23Х₁₄ + 0,3Х₁₅ + 0,14Х₁₆ + 0,12Х₁₇ + 0,25Х₁₈ + 0,24Х₁₉ + 0,2Х₂₀ + 0,21Х₂₁ - Х₂₅ = 0;

2) Всего переваримого  протеина, г:

85Х₁ + 91Х₂ + 106Х₃ + 97Х₄ + 324Х₅ + 192Х₆ + 53Х₇ + 123Х₈ + 50Х₉ + 9Х₁₀ + 33Х₁₁ + 14Х₁₂ + 27Х₁₃ + 24Х₁₄ + 10Х₁₅ + 8Х₁₆ + 9Х₁₇ + 30Х₁₈ + 25Х₁₉ + 27Х₂₀ + 26Х₂₁ + 2200Х₂₂ = Х₂₆ ;

85Х₁ + 91Х₂ + 106Х₃ + 97Х₄ + 324Х₅ + 192Х₆ + 53Х₇ + 123Х₈ + 50Х₉ + 9Х₁₀ + 33Х₁₁ + 14Х₁₂ + 27Х₁₃ + 24Х₁₄ + 10Х₁₅ + 8Х₁₆ + 9Х₁₇ + 30Х₁₈ + 25Х₁₉ + 27Х₂₀ + 26Х₂₁ + 2200Х₂₂ - Х₂₆ = 0;

3) Всего кальция, г:

2Х₁ + 0,9Х₂ + 0,8Х₃ + 2Х₄ + 5,9Х₅ + 2Х₆ + 7,6Х₇ + 10,4Х₈ + 7,1Х₉ + 3,3Х₁₀ + 5,5Х₁₁ + 1,4Х₁₂ + 4,2Х₁₃ + 1,9Х₁₄ + 0,2Х₁₅ + 0,9Х₁₆ + 0,4Х₁₇ + 2,8Х₁₈ + 2,8Х₁₉ + 3,7Х₂₀ + 1,6Х₂₁ + 150Х₂₄ = Х₂₇ ;

2Х₁ + 0,9Х₂ + 0,8Х₃ + 2Х₄ + 5,9Х₅ + 2Х₆ + 7,6Х₇ + 10,4Х₈ + 7,1Х₉ + 3,3Х₁₀ + 5,5Х₁₁ + 1,4Х₁₂ + 4,2Х₁₃ + 1,9Х₁₄ + 0,2Х₁₅ + 0,9Х₁₆ + 0,4Х₁₇ + 2,8Х₁₈ + 2,8Х₁₉ + 3,7Х₂₀ + 1,6Х₂₁ + 150Х₂₄ - Х₂₇ = 0;