Оглавление 
 
 

 

     Задание № 1

     По  данным, взятым из соответствующей  таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

 

 

     Решение

     Построим  поле корреляции.

         

     По  расположению эмпирических точек можно  предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными X и Y.

     Уравнение линейной регрессии имеет вид  ŷ = а + b * x.

     а= = 7,74     

       = 68,10

 

     

 
 

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = 7,74 + 68,10x.

     Коэффициент детерминации, как и коэффициент корреляции, можно рассматривать как меру качества уравнения регрессии. Чем ближе R² к 1, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.

     Определим линейный коэффициент парной корреляции:

     r_yx = = b * = 68,10 * 0,40 / 27,45 = 0,9923

     Коэффициент детерминации: R² = 0,9923² = 0,9847

     Вариация  y на 98,47% объясняется вариацией x.

     Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %.

       

     Э_хср = 68,10 * 0,89 / 68,349 = 0,87%

     С увеличением х на 1% y увеличится на 0,87%

     Средняя относительная ошибка:

       * 100% = 1 / 12 * 0,08 * 100% = 0,67%

     В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 0,67%.

     F_кр( ) = F_кр(0,05; 1; 10 ) = 4,75

     Формула F-критерия Фишера:

     F = R² * (n – 2) / (1 – R²) = 0,9847 * 10 / (1 - 0,9847) = 643,59.

     Т.к. F > F_кр , то уравнение и R²  значимы. 

     Уравнение степенной регрессии имеет вид  ŷ = а * х^b.

 

     Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения: ln ŷ = ln a + b*ln x

     b= = 0,84

     lna= = 4,33

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: lny = exp(4,33) + 0,84lnx. Переходим к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения, получим уравнение степенной модели регрессии.

      ŷ = 75,94 * х^0,84

     Определим индекс корреляции:

     

     Коэффициент детерминации:

     R² = 1 - Σ(y-ŷ)² / Σ(y-y_ср)²= 1 – 815,37 / 9040,80 = 0,9098

     Вариация  y на 90,98% объясняется вариацией x.

     

     Э_хср=0,84%

     С увеличением х на 1% y увеличится на 0,84%.

     Средняя относительная ошибка:

      *100% = 1 / 12 * 0,97 * 100% = 8,08%

     В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 8,08%.

     F_кр( ) = F_кр(0,05; 1; 9 ) = 4,75

     Формула F-критерия Фишера:

     F = R² * (n – 2) / (1 – R²) = 0,9654 * 10 / (1 - 0,9654) = 2790,17

     Т.к. F > F_кр , то уравнение и R²  значимы. 

     Уравнение гиперболической функции имеет  вид: ŷ=а+b/x - линеаризуется при замене x=1/x.

 

     

 

      = -22,71

     a = = 103,51

     Уравнение гиперболической модели имеет вид: ŷ = 103,51 – 22,71/х.

     Индекс  корреляции:

     

     Коэффициент детерминации:

     R² = 1 - Σ(y-ŷ)² / Σ(y-y_ср)² = 1 – 2067,09 / 9040,80 = 0,7714

     Вариация  объема y на 77,14% объясняется вариацией x.

     

     Э_хср = 22,71 / (103,51 * 0,89 – 22,71) = 0,33%

     С увеличением х на 1% y увеличится на 0,33% 

Экспоненциальная регрессия

 

     Cоставим систему нормальных уравнений по МНК.

 
 

      индекс корреляции

      коэффициент детерминации

 

Полулогарифмическая регрессия

     Cоставим систему нормальных уравнений по МНК.

 

 

      - индекс корреляции

      коэффициент детерминации

       

Обратная  регрессия

     Cоставим систему нормальных уравнений по МНК.

 

 

       

 

      индекс корреляции

      коэффициент детерминации