Графическое решение систем уравнений

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Построим график решения заданного дифференциального уравнения (рис. 9).

 

 
 

 
 
 

                            
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                        Рис. 9 
 

2. Решение дифференциального  уравнения с помощью  функции odesolve.

Odesolve(x, b, n) – возвращает решение дифференциальных уравнений, описанных в блоке Given, при заданных начальных условиях и конце интервала интегрирования b. 

Решение:

Задаем начальные  условия: 

 
 

 
 

Далее в блоке  Given производной присваиваем функцию f(x;y(x)) с помощью «булево» равно и для начального значения присваиваем значение . Затем используем функцию odesolve для нахождения решения дифференциального уравнения. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Находим решение  исходного дифференциального уравнения в нескольких точках указанного интервала. 

 

 

 
 

Построим график решения заданного дифференциального  уравнения (рис. 10).

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                       Рис. 10

Задание 6.

Математическое  регулирование установившихся процессов в электрических цепях 

 Чтобы выполнить  моделирование установившихся процессов  в электрических цепях, необходимо  составить СЛАУ для электрической  цепи, руководствуясь законами Кирхгофа.

I закон Кирхгофа: Для любого узла электрической цепи, сумма входящих токов в него равна сумме выходящих токов из него.

II закон Кирхгофа: Сумма падений напряжений любого контура равна сумме ЭДС в любом контуре. 

1. Для данной электрической цепи составить СЛАУ;
2. Решить СЛАУ в символьном виде;
3. Определить закон изменения тока на участке АВ в зависимости от величины сопротивления RR;
4. Представить график полученной функции;

 

Расчеты произвести для R=80 Ом, E=120 В.

                    

              

Решение:

В данной электрической  цепи обозначим силы тока, укажем направление  движения тока (рис. 12) и составим СЛАУ по законам Кирхгофа. 

 

 
 

 
 
 
 

 

 1. Полученная СЛАУ: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Символьное решение:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Определим закон изменения тока на участке AB в зависимости от величины сопротивления RR.

Сформируем искомую  функцию, для этого нужно взять  уравнение тока так как именно ток протекает на участке AB.  
 

 
 
 

4. График полученной функции (рис. 13): 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

               Рис. 13. График закона изменения тока на участке AB

                                       в зависимости от величины  RR  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 7.

Математическое  моделирование переходных процессов в электрических  цепях 

Математическое  описание процесса строится на основе закона Ома, I и II законов Кирхгофа. 

1. Для данных параметров электрической цепи (рис. 14) получить математическое описание переходного процесса относительно выходной переменной y(t);
2. Получить математическое описание внешнего возмущения, заданного графически;
3. Решить систему дифференциальных уравнений;
4. Построить в одних координатных осях графики входного напряжения и результатов моделирования.

 

  R=20 Ом, L=0.02 Гн, С=20 мкФ.

 

 

 

Для данной электрической  цепи характерно следующее выражение:

Решение:  
 
 

 
 

 
 
 
 

Выразим переменные , через параметры электрической цепи: R, L, C.

1.                        

      2.    
 
 

Ведем обозначения:  

       ,

1.  
    
    
   

           
    
   

   сделав нужные вычисления, можем переходить непосредственно  к решению задания. 
    
   

   Укажем все  исходные данные: 
   

         

    
    
   
    
    
    
   
    
    
   

   Получим математическое описание внешнего возмущения: 
   

   Начальное время: 

   Конечное время:  

    
   
    
    
    
   

   Количество узловых  точек:    

   Шаг:  

    
   

               

    
    
    
    
   

   Значение t в узловых точках:                

                                                            
    
   

   Формирование  входного напряжения:

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
      
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
   

   Построим график (рис. 15): 
   

      
    
    
    
    
    
    
    
    
   

      

     
   

      

   Рис.15. График функции  входного напряжения 
   

      

   Решим полученную нами систему дифференциальных уравнений, но сначала укажем вектор начальных  условий: 
   

      
    
    
    
      
    
    
    
    
    
    
    
    
   

   Решение системы  дифференциальных уравнений с помощью  функции rkfixed. 
    
   

   Таблица решения  в узлах сетки: 
    
   

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
   

   Время:

                    

   Выходное напряжение:

                                            

   Графики входного напряжения и результатов моделирования (рис. 16): 
   

        

          

        
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
   

        

   Рис. 16. Графики входного напряжения и результатов моделирования 
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
   

   Заключение. 
   

       

    Программа  «MathCAD» облегчает жизнь тем людям, которым приходится вести сложные расчёты. Раньше приходилось тратить много времени на выполнение трудной работы. Теперь благодаря современной технике и пакету прикладных программ можно автоматизировать многие арифметические и алгебраические операции.

       

   Не малую пользу приносит «MathCAD» и в учёбе. Например, данная программа мне пригодилась для проверки интегралов по высшей математики, при вычислении первой и второй производной, для построения графиков сложных тригонометрических функций, а также для вычисления пределов функций.

       

   В ходе курсовой работы я научился вычислять дифференциальные уравнения, решать системы линейны  алгебраических уравнений.

       

   Так же программное  обеспечение «MathCAD» пригодилось для электриков. Для расчёта сложных электрических цепей, рассчитывать максимальное и минимальное напряжение, определять сопротивление, силу тока и т.д.  
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
   

   СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 
   

   1. Курс лекций  по информатике 2-ой семестр;

   2. Калинина Т.Н.  MathCAD: Методические указания к выполнению контрольных задач. – 2005;

   3. Дьяконов В.  Mathcad 2001: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001;

   4. Кудрявцев  Е.М. Mathcad 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001;

   5. Плис А.И., Сливина  Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2002. 
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
   

   Список  литературы:  
   

   1. Информатика Mathcad: методические указания по выполнению курсовой работы / сост. Кабаева Е.В.; Сиб. федер. ун-т, ХТИ - филиал СФУ.-Абакан, 2010.
    
   
   2. Курс лекций по информатике 2-ой семестр.
    
   
   3. Информатика. Базовый курс. 2-е издание / Под  ред. С.В. Симоновича.-СПб.: Питер, 2007.