Економіко - математичні моделі в управлінні та економіці

Попит багато в чому визначає стратегію і тактику організації  виробництва і збуту товарів і послуг. Облік попиту, обгрунтоване прогнозування його на короткострокову та довгострокову перспективу - одна з найважливіших завдань різних організацій та фірм.

Склад і рівень попиту на той чи інший товар залежать від багатьох чинників, як економічних, так і природних. До економічних факторів належать рівень виробництва (пропозиції) товарів та послуг (позначимо цей фактор у загальному вигляді П), рівень грошових доходів окремих груп населення (D), рівень і співвідношення цін (Р). До природних факторів належать демографічний склад населення, в першу чергу розмір і склад сім'ї (S), а також звички і традиції, рівень культури, природно-кліматичні умови і т.д.

Економічні чинники дуже мобільні, особливо розподіл населення за рівнем грошових доходів. Природні ж фактори змінюються порівняно повільно і протягом невеликого періоду (до 3-5 років) не надають помітного впливу на попит. Виняток становить демографічний склад населення. Тому в поточних і перспективних прогнозах попиту всі природні фактори, крім демографічних, доцільно враховувати спільно, ввівши фактор часу (t).

Загальному вигляді  попит визначається у вигляді  функції перерахованих вище факторів:

у = f (П, D, P, S, t). (1.6)

Оскільки найбільший вплив на попит надає чинник доходу, багато розрахунки попиту і споживання здійснюються у вигляді функції від душового грошового доходу: у = f (D).

Найбільш простий підхід до прогнозування попиту на невеликий період часу пов'язаний з використанням так званих структурних моделей попиту. При побудові моделі виходять з того, що для кожної економічної групи населення за статистичними бюджетних даних може бути розрахована притаманна їй структура споживання. При цьому передбачається, що на досліджуваному відрізку часу помітні зміни зазнає лише дохід, а ціни, розмір сім'ї та інші фактори приймаються незмінними. Зміна доходу, наприклад його зростання, можна розглядати як переміщення певної кількості сімей з нижчих дохідних груп до вищих. Іншими словами, змінюються частоти в різних інтервалах доходу: вони зменшуються у нижніх і збільшуються у верхніх інтервалах. Сім'ї, які потрапляють у новий інтервал, будуть мати ту ж структуру споживання і попиту, яка склалася у сімей з таким же доходом до теперішнього часу.

Таким чином, структурні моделі розглядають попит як функцію  тільки розподілу споживачів за рівнем доходу. Маючи відповідні структури попиту, розраховані за даними статистики бюджетів, і частоти розподілу споживачів за рівнем доходу, можна розрахувати загальну структуру попиту. Якщо позначити структуру попиту у групі родин із середнім доходом D _i через r (D _i), а частоти сімей з доходом D _i через , То загальна структура попиту R може бути розрахована за формулою:

(1.7)

де п - кількість інтервалів доходу сімей.

Структурні моделі попиту - один з основних видів економіко-математичних моделей планування та прогнозування попиту і споживання. Зокрема, широко поширені так звані компаративні (порівняльні) структурні моделі, в яких зіставляються структури попиту даного досліджуваного об'єкта і деякого аналогового об'єкта. Аналогом зазвичай вважаються регіон чи група населення з оптимальними споживчими характеристиками.

Поряд зі структурними моделями в плануванні та прогнозуванні попиту використовуються конструктивні моделі попиту. В основі їх лежать рівняння бюджету населення, тобто такі рівняння, які висловлюють очевидне рівність загального грошового витрати (іншими словами, обсягу споживання) і суми добутків кількості кожного спожитого товару на його ціну. Якщо Z - обсяг споживання, т - кількість різних видів благ, q _i - розмір споживання i-го блага, p _i - ціна i-го блага, то конструктивна модель попиту може бути записана наступним чином:

Ці моделі, звані також  моделями бюджетів споживачів, відіграють важливу роль у плануванні споживання. Однією з таких моделей є, наприклад, всім відомий прожитковий мінімум. До таких моделей відносяться також раціональні бюджети, засновані на наукових нормах споживання, насамперед продуктів харчування, перспективні бюджети (наприклад, так званий бюджет достатку) і ін.

У практиці планування та прогнозування попиту крім структурних і конструктивних моделей застосовуються також аналітичні моделі попиту і споживання, які будуються у вигляді однофакторних і багатофакторних рівнянь, що характеризують залежність споживання товарів і послуг від тих чи інших факторів

 

Практична частина

 

Задача 1. Розподіл ресурсів

1) Нехай сім Споживачів подали заявки в розмірі s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇. Наявний в розпорядженні Центру ресурс складає R_Ц1. Як повинен бути розподілений цей ресурс у відповідності з механізмом прямих пріоритетів ?

2) Нехай існує сім Споживачів, пріоритети яких визначаються числами А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, А₇. Ресурс Центру складає R_Ц2. Визначити рівноважні стратегії (заявки) Споживачів, якщо ресурс розподіляється у відповідності з механізмом зворотних пріоритетів.

3) Існує сім Споживачів, які подали заявки в розмірі s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇ і повідомили Центру відповідно наступні показники ефекту: w₁, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆, w₇. Яким повинен бути розподіл ресурсу об'ємом R_Ц1 у відповідності з конкурсним механізмом ?

4) Сім Споживачів подали Центру свої заявки: s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇. Центр має ресурс R_Ц1. Необхідно розподілити цей ресурс у відповідності з механізмом відкритого управління.

R_Ц1 = 42; R_Ц2 = 65;

s₁ = 6; s₂ = 15; s₃ = 4; s₄ = 8; s₅ = 9; s₆ = 10; s₇ = 5;

A₁ = 6; A₂ = 15; A₃ = 4; A₄ = 8; A₅ = 9; A₆ = 10; A₇ = 5;

w₁ = 30; w₂ = 28; w₃ = 27; w₄ = 25; w₅ = 31; w₆ = 32;     w₇ = 26.

Розв’язок

1). Отже, визначимо, як повинен бути розподілений ресурс у відповідності з механізмом прямих пріоритетів.

Обсяг заявок:

S =

s_i = 6 + 15 + 4 + 8 + 9 + 10 +5 = 57 > R_Ц1,   R_Ц1= 42

Ресурси є дефіцитними.

g = = » 0.74.

Відповідно до механізму  прямих пріоритетів, маємо:

x* = {min(s_i; g × s_i); i = 1..7} = {g × s_i; i = 1..7} » 0.74 × (6; 15; 4; 8; 9; 10; 5;) »

» (4,44; 11,1; 2,96; 5,92; 6,66; 7,1; 3,7;).

 

2). Визначимо рівноважні стратегії (заявки) Споживачів, якщо ресурс розподіляється у відповідності з механізмом зворотніх пріоритетів:

= = » 3,32.

s* =

× { ; i = 1..7} » 3.32 × { ; i = 1..7} »

» (8,13; 12,86; 6,64; 9,39; 9,96; 10,5; 7,42) = x*.

 

3). Визначаємо ефективність:

c = {

; i = 1..7} » (3,69; 2,18; 4,07; 2,66; 3,11; 3,05; 3,5).

Відповідно до конкурсного  механізму маємо:

max(c_i; i = 1..7) = c₄ = 4,07 Þ x₄ = s₄ = 4.  4 < R = 42.

max(c_i; i = 1..7; i ¹ 3) = c₁ = 3.69 Þ x₁ = s₁ = 6.  4+6 < R = 42.

max(c_i; i = 1..7; i ¹ {1;3}) = c₇ = 3.5  Þ x₇ = s₇ = 5.  4+6+5 < R = 42.

max(c_i; i = 1..7; i ¹ {1; 3; 7}) = c₅ = 3,11 Þ x₅ = s₅ = 9.

4+6+5+9 < R = 42.

max(c_i; i = {2; 4; 6}) = c₆ = 3,05  Þ x₆ = s₆ = 10.

4+6+5+9+10 < R = 42.

max(c_i; i = {2; 4}) = c₄ = 2,66  Þ x₄ = s₄ = 8.

4+6+5+9+10 +8 = R = 42

Відповідно принципів  конкурсного механізму решта  споживачів нічого не отримає.

Розподіл ресурсу має  наступний вигляд:

x* = (6; 0; 4; 8; 9; 10; 5).

4). Відповідно до механізму відкритого управління, маємо:

Перший етап.  = = 6.

s₁ = 6 = = 6 Þ x₁ = s₁ = 6.

s₃ = 4 < = 6 Þ x₃ = s₃ = 8.

s₇ = 5 < = 6 Þ x₇ = s₇ = 9.

n₁ =  4.

R₁ = R – (6 + 4 + 5) = 42 – 15 = 27.

x* = (6; ?; 4; ?; ?; ?; 5).

Другий етап.  = = 6,75.

s₂ = 5 = = 6,75  Þ x₂ = s₂ = 6,75.

n₂ = n₁ – 1 = 4 – 1 = 3.

R₂ = R₁ – 6,75 = 20,25.

Розподіл ресурсу має  наступний вигляд:

x* = (6; 6,75; 4; 6,75; 6,75; 6,75; 5).

 

Задача 2. Управління запасами

1. Система управління  запасами певного виду товару  підпорядковується умовам основної моделі. Кожного року з рівномірною інтенсивністю надходить попит на d одиниць товару, витрати на організацію поставки складають s грн. за одну партію, ціна одиниці товару c грн., а витрати на її зберігання h грн. в рік. Знайти оптимальний розмір партії. Якими будуть тривалість циклу і число поставок за рік, якщо стратегія управління запасами є оптимальною ?

2. Система управління  запасами описується моделлю  виробничих поставок і має  наступні значення параметрів. Попит  рівний d одиниць товару в рік,  ціна c грн., витрати на зберігання одиниці товару протягом року h грн., організаційні витрати s грн. Протягом року може бути вироблено p одиниць товару при повному завантаженні виробничої лінії. Розрахуйте оптимальний розмір партії, тривалість поставки і тривалість циклу поповнення запасів.

3. Очікується, що інтенсивність  рівномірного попиту складає  d одиниць товару в рік. Організаційні  витрати рівні s грн., витрати на  зберігання – h грн. Ціна одиниці  товару рівна c грн., однак, якщо  розмір партії не менше q₀ одиниць, ціна знижується до c₀ грн. Знайти оптимальний розмір партії.

d = 2700; s = 140; h = 60; c = 60; p = 3500;

q₀ = 1350; c₀ = 50.

Розв’язок

Нехай q – розмір партії.

1). Загальні витрати:  C(q) = c × d + + ® min.

C’(q) = – + = 0  Þ оптимальний розмір партії:

q* =

= » 112,2 » 112.

Оптимальне число поставок за рік:  n* = » = 24,1.

Оптимальна тривалість циклу: t* = = = 15,2 (днів).

C_min » 60 × 2700 + + = 168 735,0 (грн.).

 

2). Загальні витрати:  C(q) = c × d + + ® min.

C’(q) = – + = 0  Þ оптимальний розмір партії:

q* =

= » 234,8 » 235.

Тривалість поставки:  t* = × 365 » × 365 » 25.6 (днів).

C_min » 60 × 2700 + + » 166 311,4 (грн.).

 

3). Загальні витрати:  C(q) = ® min.

C’(q) = – + = 0  Þ оптимальний розмір партії:

q* =

= » 112,2 » 112.

C_min » 60 × 2700 + + = 168 735 (грн.).

 

Задача 3. Побудова математичної моделі

 

Фабрика виробляє два види фарб: перший – для зовнішніх, а другий – для внутрішніх робіт. Для виробництва фарб використовуються два інгредієнти: А і В. Максимально можливі добові запаси цих інгредієнтів складають 6 і 8 т відповідно. Відомі витрати А і В на 1 т відповідних фарб. Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу 2-го виду ніколи не перевищує попиту на фарбу 1-го виду більше, ніж на 1 т. Крім того, встановлено, що попит на фарбу 2-го виду ніколи не перевищує 2 т на добу. Оптові ціни однієї тонни фарб дорівнюють: 3 тис. грн. для фарби 1-го виду; 2 тис. грн. для фарби 2-го виду.

Необхідно побудувати математичну  модель, що дозволяє встановити, яку  кількість фарби кожного виду треба виробляти, щоб дохід від  реалізації продукції був максимальним. Також розв’язати задачу графічним методом.

Інгредієнти	Витрати інгредієнтів, т  інгр./т фарби		Запас, т інгр./добу
	Фарба 1-го виду	Фарба 2-го виду
А	1	2	6
В	2	1	8

 

Розв’язок

Нехай x_j – кількість фарби j-го виду відповідно, т; j = 1..2.

Тоді прибуток від  реалізації всієї продукції складе:

F = 3x₁ + 2x₂ (тис. грн.).

Витрати інгредієнтів складуть:

А: x₁ + 2x₂ £ 6;

В: 2x₁ + x₂ £ 8.

Обмеження на виробництво:

x₂ £ x₁ + 1;

x₂ £ 2.

Величину F необхідно  максимізувати.

Математична модель задачі приймає вигляд:

F = 3x₁ + 2x₂ ® max;

x₁ + 2x₂ £ 6;

2x₁ + x₂ £ 8;

x₂ – x₁ £ 1;

x₂ £ 2;

x₁ ³ 0; x₂ ³ 0.

У декартовій системі  координат x₁Ox₂ будуємо прямі:

l₁: x₁ + 2x₂ = 6; l₂: 2x₁ + x₂ = 8; l₃: x₂ – x₁ = 1; l₄: x₂ = 2.