Двумерные и многомерные probit-модели

Содержание:

Двумерные  и многомерные probit-модели.

Построение исследование модели.

Двумерные  и многомерные probit-модели.

Probit-модели могут быть использованы для определения вероятностей сложных событий, выражаемых в виде комбинаций некоторых наборов простых событий, каждое из которых имеет два альтернативных варианта, например, переезд на новое место жительства и аренда (покупка) жилья и т. п. В этом случае данные вероятности могут быть определены как вероятности выбора в рамках многомерных альтернативных вариантов.

Для каждого индивидуума t (t=1,2,...,Т) модель, определяющая вероятности двух событий, может быть представлена в виде следующей системы:

        y1t*=1x1t +1t, если y1t=1, то y1*0, если y1=0, то y1*0; 

       y2t*=2x2 t +2t, если y2t=1, то y2*0, если y2=0, то y2*0.   (1)

Латентные переменные y1t * и y2t *  модели (1) могут интерпретироваться в терминах выгоды, получаемой в зависимости от принятого решения соответственно в первом и во втором случаях; х1t и х2t  – векторы значений независимых факторов, соответствующих сделанному выбору; 1t и 2t – ошибки соответственно первого и второго уравнений;  – коэффициент ковариации ошибок 1  и 2.

Закон совместного распределения ошибок модели 1  и 2 в общем случае характеризуется следующими параметрами:

M[1]=M[2]=0;

D[1]=D[2]=1[*] ;

Cov[1, 2]=,

Согласно модели (1) возможны следующие комбинации решений:

y1=y1=1;

Наблюдаемые комбинации образуют массив зависимых переменных модели (1). В системе (1) допускается, что события являются зависимыми между собой, что означает существование ненулевой ковариационной связи между ошибками 1  и 2. Например, возможность приобретения жилья на новом месте может способствовать принятию решения о переезде или, наоборот, переезд обусловливает необходимость аренды жилья.

Для определения функции закона распределения введем следующие обозначения: q1t=2y1t–1 и q2t=2y2t–1. Тогда qjt=1, если уjt=1, и qjt=–1, если уjt=0, для j=1,2. Введем также в рассмотрение следующие переменные:

zjt=jxjt     и wjt= qjtzjt, j=1,2

и

t*=q1t q2t.

Вероятность того, что зависимые переменные Y1  и Y2 системы (1) для конкретного индивидуума принимают соответственно значения y1t  и  y2t, при, например, нормальном виде закона их совместного распределения рассчитывается как

P(Y1=y1t, Y2=y2t)=2(w1t, w2t, t*),

где 2(.) – функция нормального закона совместного  распределения случайных переменных Y1  и Y2, имеющая следующий вид:

2(w1t, w2t, t*)= 

где u1  и u2 – переменные интегрирования и плотность этого распределения имеет следующий вид:

Построение исследование модели.

Данные представляют собой выборку из значения показателей производственно-хозяйственной деятельности 18 предприятий России.

Построим следующие модели:

1)      зависимость потерь от брака от удельного веса покупных изделий:

Model: Probit regression N of 0's:8 1's:10 (Spreadsheet14)

Dep. var: Var1 Loss: Max likelihood

Final loss: ,011147571 Chi?(1)=24,708 p=,00000

Y1t=normal(26,65459-90,6291X1t,0,1)

2)      зависимость рентабельности предприятия от фондовооруженности труда:

Model: Probit regression N of 0's:8 1's:10 (Spreadsheet14)

Dep. var: Var3 Loss: Max likelihood

Final loss: 6,567937744 Chi?(1)=11,595 p=,00066

Y2t= normal(-3,92154+0,709050X2t,0,1)

3)      рассчитаем вероятность P(Y1=0 Y2=1)

q1 18=-1

q2 18=1.

Тогда 

z1 18= -1,8

z2 18= 3,822

w1 18= -1,8

w 2 18=3,822

и

1*=0,09

Тогда

Р= ,688707

4)      спрогнозируем значения для следующего наблюдения зная, что:

Y2 19=normal(26,65459-90,6291X1t,0,1)= 1,000000

Y2 19= normal(-3,92154+0,709050X2t,0,1)= ,938220

Таким образом, мы видим, что, несмотря на наличие потерь от брака предприятие является рентабельным.

Также рассчитаем, какова была вероятность получить этот результат:

q1 19=1

q2 19=1.

Тогда 

z1 19=5,4

z2 19=5,46

w1 19= 5,4

w 2 19=5,46

и

1*=0,09

Тогда

Р=,642671

[*] Допущение равенства дисперсий – не слишком сильное. Если дисперсия ошибки  принимает вместо 1 значение 2, то это равносильно умножению всех коэффициентов  на . Знак произведения x при этом не изменится. Соответственно не изменится и соотношение между латентной переменной y* и наблюдаемой переменной y.