Решения алгебраических и трансцендентных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра

 

 

 

 

Отчёт

Дисциплина: «Численные методы»

Лабораторная работа №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:        Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 решения алгебраических И трансцендентных  уравнений

 

1.1 Цель работы:

 

Применение  численных методов решения нелинейных уравнений в различных практических задачах. Анализ результатов.

 

1.2 Теоретические сведения:

 

Численное решение уравнений - нахождение приближённых решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Ч. р. у. сводится к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнений и значениями входящих в него функций и позволяет найти решения уравнений с любой наперёд заданной точностью

 

 

 Численное решение алгебраических уравнений разбивается на следующие этапы: 1) выделение кратных корней, сводящее задачу к решению уравнения с простыми корнями;определение границ, между которыми могут лежать корни уравнения; 3) разделение корней, т. е. указание промежутков, каждый из которых содержит не более одного простого корня (см. Штурма правило); 4) грубое определение приближённого значения корня, выполняемое графически или каким-либо иным способом (например, при помощи изучения перемен знака левой части уравнения); 5) вычисление корня с заданной точностью. Наиболее распространёнными методами для этого являются методы ложного положения, метод Ньютона, Лобачевского метод, последовательных приближений метод (См. Последовательных приближении метод), разложение в ряды и т.д.

 

1.3 Выполнения лабораторной работы:

 

1.3.1 Выбираем вариант задания из таблицы 1.1 согласно номеру студента.

 

Номер варианта	Уравнение	Метод
16		Итераций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.2 Разрабатываем алгоритм поиска корней уравнения для заданного метода (Рис 1.1) и программируем.

 

Рис 1.1 –  Схема алгоритма работы программы.

 

 

1.4.3 Код программы:

 

#include "stdafx.h"

#include<iostream>

#include<conio.h>

#include<math.h>

 

using namespace System;

 

using std::cout;

using std::cin;

using std::endl;

 

void Sqrt(double a, double b );

double f4(double x);

double rigor;

double fi(double x);

 

int main(array<System::String ^> ^args)

{

double a,b,fc,fp,x,xp; //переменные

 

cout<<"Vvedite granizu poiska"<<endl; //вводим границы поиска

cin>>a>>b;

 

cout<<"Vvedite pogreshnost"<<endl; // вводим погрешность

cin>>rigor;

 

for (x = a + 0.4; x <= b; x += 0.4)

{

fc = f4(x);

xp = x - 0.4;

if((fc * fp)<=0) Sqrt(xp,x);

}

getch();

return 0;

}

void Sqrt(double a,double b)

{  

double x0,x,iter=1;

    x0 = (a + b)/2;

 

cout<<"ot "<<a<<" do "<<b<<endl;

 

    do

   {

x = fi(x0);

if (abs(x - x0)<rigor) break;

iter ++;

   }

   while (abs(a - x0)>rigor && abs(b - x0)>rigor);

 

   cout << "Nuli  "<<x<<"\n";

   cout<<"Iteraziy - "<<iter<<endl;

 

}

double f4(double x)

{

return (pow(x,3) + 5 * pow(x,2) - 8 * x - 12);

}

double fi(double x)

{

return (x - 0.01 * f4(x));

}

 

 

1.4.4 Задавая различные значения погрешности, оцениваем затраты вычислительных ресурсов (Таблица 1.1). И его график (Рис. 1.2).

 

Значения rigor	0,1	1e-2	1e-3	1e-4	1e-5	1e-6	1e-7	1e-8
Количество интераций	1	8	18	28	37	47	57	67

 

 

Таблица 1.1

 

 

Рис. 1.2

 

ВЫВОД

В данной лабораторной работе мы ознакомились с применением  численных методов для решения  линейных алгебраических уравнений. Был  разработан и реализован алгоритм для  отделения и уточнения корней уравнения. Для решения поставленной задачи были использованы средства языка программирования С++. Также нами была исследована зависимость сложности алгоритма уточнения корня методом последовательных приближений от требований точности приближения.