Численные методы

1.               При сложении и вычитании приближенных  чисел, имеющих одинаковое число  верных цифр после запятой,  округление не производится.

     При сложении и вычитании приближенных чисел с различным числом верных цифр после запятой результат  округляется по наименьшему числу  верных цифр после запятой у исходных данных.

     При умножении и делении приближенных чисел с различным числом верных цифр производится округление результата по минимальному числу верных цифр у исходных данных.

• При сложении двух приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складывают.
• При вычитании двух чисел одного знака относительная погрешность разности может оказаться значительно больше относительной погрешности каждого слагаемого. Особенно большая потеря точности происходит при вычитании близких между собой чисел.
• При умножении и делении приближенных чисел складывают их предельные относительные погрешности.

Причинами появления  погрешностей являются: 

Несоответствие  математической модели изучаемому реальному  явлению

• Погрешность исходных данных.
• Погрешность метода решения.
• Погрешности округлений в арифметических и других действиях над числами.
• Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.

Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.

Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

1. Сложение. При  сложении у остальных слагаемых  оставляют на один или два  десятичных знаков больше, чем  у числа с наибольшей предельной  абсолютной погрешностью  . В ответе оставляют такое же количество десятичных знаков, какое у числа с наибольшей предельной абсолютной погрешностью   (у которого меньше десятичных знаков после запятой).

2. Вычитание.  При вычитании сначала числа  одинаково округляют. В ответе  оставляют число десятичных знаков  того числа, у которого наибольшая  предельная абсолютная погрешность  .

3. Умножение  и деление. При умножении и  делении в ответе оставляют  количество значащих цифр числа  с наибольшей предельной относительной  погрешностью   (у которого  меньше значащих цифр). 

Способы отделения корней уравнения

Метод 1:аналитический.

Этот метод  осуществляется с помощью теорем математического анализа.

Теорема 1(о существовании корня). Если функция F(x) непрерывна и на концах отрезка принимает различные знаки, то на интервале [a, b] существует хотя бы одна точка c , что F(c)=0 и c≠a, c≠b

Теорема 2(о единственности корня). Если функция F(x) непрерывна на [a, b], монотонна и принимает значение разных знаков на [a, b], то на данном  отрезке существует корень и, причём единственный.

Метод 2: графический. 
 

Корни уравнения-это точки пересечения графика функции F(x) с осью Ox. Достаточно построить график функции и отметить на оси Ox отрезки, содержащие по одному корню. 

Метод касательных

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b]. Пусть  на [a, b] есть корень и только один, т. е. f(a)*f(b)<0, график функции проходит через точку A(a, f(a)), B(b, f(b)) и f’(x), f’’(x) знакопостоянны на [a, b].

 

 В точке  B(b, f(b)) проводим касательную. Уравнение касательной запишется так:

Для нахождения точки пересечения этой прямой с  осью Ox нужно принять y=0, а x=x1, тогда получаем:    0=f(b)+f’(b)(x1-b)

f’(b)( x1-b)=- f(b)

 

Если касательная  проведена в точку B(b, f(b)), то получаем x1, найдя значение x1 по формуле, вычислим x1 и найдём точку B1(x1, f(x1)), тогда

Процесс продолжается неограниченно. x1,…, xn являются приближёнными значениями корня.

Замечание. Для  того, чтобы точка пересечения касательной с осью Ox лежала внутри [a, b] касательную надо проводить через тот конец отрезка [a, b], где знак функции и второй производной совпадают.

Методами математического  анализа можно доказать, что последовательность x1,…, xn  есть последовательность приближённых значений корня, она монотонна, сходится и её предел равен истинному значению корня, процесс закончить, когда |xn+1-xn|<E.

Можно доказать, что требуемая точность при выполнении этого условия будет достигнута. 

Комбинированный метод

Пусть f(x) удовлетворяет  тем же условиям, что и в методах  хорд и

касательных. Обозначим a 1=a, b 1=b и определим последовательности {a n } и {b

n } равенствами

Метод, основанный на применении данных формул называют

комбинированным методом, так как в этом случае применяют одновременно иметод хорд и метод касательных. Корень x 0 в этом случае всегда лежит между a

n и b n . Поэтому  процесс нахождения приближений  по этим формулам надо

остановить  тогда, когда окажется  − < an bn

 ε, годе  ε – требуемая точность, и за

приближенное  значение корня можно принять любое число из интервала (a_n ,b_n

), например,

Словесный алгоритм нахождения корня уравнения комбинированным

методом с  точность до ε:

.

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании системы к равносильной

ей системе  с треугольной матрицей, из которой  затем последовательно

(обратным ходом)  получаются значения всех неизвестных.  Сам по себе метод

Гаусса относится  к точным методам.

Пример:

По методу Гаусса решить систему линейных алгебраических

уравнений  A⋅ x = b , где

Решение:

I этап:

Заполняем таблицу. Вносим коэффициенты при неизвестных  и

свободные коэффициенты. Для исключения случайных ошибок в схеме

предусматривается текущий контроль правильности вычислений: столбец

контрольных сумм ∑ и столбец строчных сумм S (при  отсутствии случайных

вычислительных  ошибок числа этих столбцов должны практически

совпадать).

∑ – сумма  коэффициентов строк;

S – текущее  преобразование контрольной суммы  (над контрольными

суммами производятся те же операции, что и над свободными членами).

II этап:

Исключаем первое неизвестное из остальных уравнений  системы. III этап: исключаем второе неизвестное  из третьего уравнения системы.

Этап исключения неизвестных, называется прямым ходом, этап

вычислений –  нахождение значений неизвестных –  называется обратным. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x_j различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_j) = y_j.

В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через  две заданные точки.

 
 
 

Конечные  разности

  

Многочлен Ньютона  интерполяционный – как и другие интерполяционные формулы (см. интерполяция), служит для построения многочлена n-й  степени, который совпадает в (n+1) точке co значениями неизвестной искомой функции у = f(x).

Пусть  в  точках  х0, х1, …, хn+1  значения  функции у = f(x)  равны соответственно у0 = f(x0), y1 = f(x1), …, yn+1 = f(xn+1).

Построим  интерполяционный многочлен Ньютона с помощью  метода неопределенных коэффициентов. Для этого запишем искомый  многочлен в виде

Pn(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) + b3(x – x0)(x – x1)(x – x2) + … + bn(x – x0)…(x – xn). (1)

Последовательно подставляя в формулу (1) вместо х  данные значения х0, х1, ..., хn+1, получим для нахождения неопределенных коэффициентов b0, b1, ..., bn «треугольную» систему уравнений

(при подстановке  в равенство (1) вместо х числа  х0 в правой части равенства обратились в нуль все слагаемые, кроме первого: там везде был множитель (х – х0), обратившийся  в нуль; при подстановке х = х1 обратились в нуль все слагаемые, кроме первого и второго – они содержат множитель (х – х1) и т.д.). 
 

Пельмени.

Состав:

Для теста:

• Мука - 3ст.
• Яйцо - 1шт.
• Молоко - 2/3ст.
• Соль - 0,5ч.л.

Для фарша:

• Мясо (свинина, говядина 50/50) - 300г.
• Лук репчатый - 1шт.
• Бульон - 30-50мл.
• Соль, перец.

Приготовление:  

В муку вбиваем  яйцо, вливаем теплое молоко, солим  и замешиваем крутое тесто. 

Даем ему немного  постоять, накрыв салфеткой.

 

Тем временем приготовим начинку для наших  пельменей: 

для этого перекручиваем  мясо и лук на мясорубке, солим, перчим и доливаем немного бульона (молока или воды), чтобы начинка у готовых  пельменей не была сухой. Все хорошенько перемешиваем.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вареники  с капустой

Состав:

Для теста:

• Яйца - 2шт.
• Молоко - 200мл.
• Мука - 3,5-4ст.
• Соль - 0,5ч.л.
• Растительное масло - 2ст.л.

Для начинки:

• Капуста - 1кг.
• Лук репчатый - 1-2шт.
• Морковь - 1шт.
• Томатная паста - 0,5ст.л.
• Сахар - 1ч.л.
• Соль, перец.

 

Приготовление:

Начинка: 

Капусту шинкуем  и немного поджариваем ее на разогретой сковороде с растительным маслом (примерно 7-10 минут). 

 

Нарезаем не крупно лук, морковку натираем на терке  и пассеруем. 

Добавляем пассерованные овощи к капусте, добавляем соль, перец, сахар и хорошенько перемешиваем. 

Наливаем в  сковороду 0,5ст. водички и тушим  под крышкой 1-1,5ч.