Полимены

Кольцо  полиномов  

Рассмотрим полином (многочлен)

Если коэффициенты                                       при степенях  являются элементами поля , то говорят, что полином задан над полем .  

Степенью полинома называется наибольшая степень переменной  с ненулевым коэффициентом. Многочлен называется нормированным, если коэффициент при наивысшей степени  равен 1. Два полинома  

называются равными, если они имеют одинаковую степень, т.е.     , и равные коэффициенты                . При этом считается, что   , где – единичный элемент поля . Полином, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым. Степень нулевого полинома равна нулю.  

В кольце полиномов  операции сложения и умножения вводятся следующим образом. Для двух полиномов их сумма

а произведение

В частности, если            то               . Нетрудно проверить, что при введенных таким образом операциях сложения и умножения множество       полиномов является кольцом, которое называется кольцом полиномов над полем .  

Свойства  делимости полиномов  в кольце  

Пусть   и    – два полинома степени и   соответственно, причем       . Говорят, что делится на  , если в кольце      существует третий полином        такой, что             . Деление полиномов в кольце        не всегда возможно даже на ненулевой многочлен. Например, деление невозможно, если степень делимого меньше степени делителя.  

Укажем основные свойства делимости полиномов в  кольце.  

1. Если  и   – полиномы из  и  делится  на , а  делится на , то многочлены  и  отличаются друг от друга лишь множителем нулевой степени, т.е. , где  – элемент поля.  

2. Если каждый  из полиномов  и  делится  на , то их сумма  и разность  делятся на .  

3. Если ,  и   – полиномы из  и  делится  на , а  делится на , то  делится  на .  

4. Ненулевые  элементы поля  являются делителями  любого полинома из .  

5. Для любой  пары полиномов  и  существует  единственная пара многочленов  (частное) и  (остаток) таких,  что  причем степень  меньше  степени .  

6. Полином   называется наибольшим общим  делителем (НОД) полиномов   и , если  – полином наивысшей  степени, который делит как  , так и . НОД обозначается:  Два полинома называются взаимно  простыми, если их НОД равен  1.  

Полином, который  делится только на себя и на элемент поля , называется неприводимым над полем .  

Кольцо вычетов  по модулю   

При описании блочных  кодов [25, 30, 33] широко используется понятие  кольца вычетов по модулю некоторого полинома  с коэффициентами из поля .  

Для полиномов  существуют понятия, аналогичные введенным в 5.8 для чисел, если заменить в этих понятиях слово «число» словом «полином». Так, если при делении полиномов  и  из  на  получаются одинаковые остатки, то многочлены  и  сравнимы между собой по модулю многочлена  из  или .  

Все полиномы, сравнимые  между собой по модулю , образуют класс вычетов по модулю , а каждый полином класса называется вычетом  по модулю . Каждый класс характеризуется  своим представителем, в качестве которого обычно выбирают полином, степень  которого меньше степени . Количество классов вычетов по модулю  равно числу многочленов, степени которых меньше степени .  

Совокупность  классов вычетов по модулю  образует кольцо вычетов по модулю . В качестве операций сложения и умножения в  этом кольце используются сложение и умножение по модулю .  

Пример 5.13. Рассмотрим кольцо классов вычетов по модулю полинома  над двоичным полем. Полиномы вида , где  – произвольный полином, степень которого меньше 2, при фиксированном  образуют класс вычетов по модулю . Так как всего имеется 4 разных полинома  степени меньше 2, то возможны 4 следующие класса вычетов:

Здесь  – произвольный полином. В качестве представителей классов обычно выбирают вычеты наименьшей степени, которые совпадают с полиномами  и образуют кольцо классов вычетов по модулю полинома , т.е. множество .  

  << Предыдущая Ог