Странные аттракторы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

Национальный  исследовательский  ядерный университет  «МИФИ»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ И 
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

 

КАФЕДРА № 31 «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

 
 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к учебно-исследовательской  работе и курсовому проекту на тему:

 
 
 
 

Группа  _____Т7-31_____

 

Студент __________________________ ( ____Воробьева М.В._____ )

                                            (подпись)                                        (фио)

 

Руководитель  проекта ______________ ( ____Савельев В.В._______ )   

                                            (подпись)                                        (фио)

Оценка __________________________________________________

Члены комиссии __________________ ( _______________________ )   

                                            (подпись)                                        (фио)

                             __________________ ( _______________________ )

                                            (подпись)                                        (фио)

                             __________________ ( _______________________ )

                                            (подпись)                                        (фио)

                             __________________ ( _______________________ )

                                            (подпись)                                        (фио)

 
 

Москва 2010

Оглавление

Введение3

Аналитическая часть4

Устойчивость динамических систем 7

Постановка задачи курсового проекта 8

Методы и алгоритмы  решения 9

1.1 Метод Рунге-Кутта  4-ого порядка9

1.2 Алгоритм решения  уравнения sin-Gordon11

Поведение решения  системы Лоренца 12

Заключение 13

Список  литературы 14

Приложения  15

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

 

  Теория  хаоса определяется как раздел математики, изучающий поведение сложных  нелинейных динамических систем. В  естествознании под динамической системой понимается система, которая развивается  во времени, при этом может меняться как состав ее элементов, так и  принципы их взаимодействия друг с  другом. Динамические системы могут быть линейными и нелинейными. Все части линейных систем слабо взаимодействуют между собой, оставаясь практически независимыми друг от друга. Реакция таких систем на внешнее воздействие легко прогнозируема. Что же касается нелинейных систем, то их поведение не укладывается в одну теоретическую схему и в различные периоды может быть непредсказуемо.

Основные инструменты  теории хаоса – это аттракторы и фракталы.

Аттрактором (от лат. притягиваю) называется такое идеальное состояние системы, к которому она стремится прийти в результате своего развития. Какими бы ни были начальные параметры, с течением времени они будут стремиться к определенным значениям или множествам значений – аттракторам.

Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова.

Целью работы является численное исследование первого изученного с точки зрения теории хаоса аттрактора - аттрактора Лоренца с помощью метода Рунге-Кутта 4-ого порядка в среде Delphi. А так же изучение поведения странного аттрактора с изменением параметров системы Лоренца.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---
 
 
 
 
 
 
 
 

  Аналитическая часть

 

  Аттрактор представляет собой – геометрическую структуру, характеризующую поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

  Фазовое пространство – это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Самым простым типом аттрактора является точка.

  Аттрактор - совокупность внутренних и внешних условий, способствующих "выбору" самоорганизующейся системой одного из вариантов устойчивого развития; идеальное конечное состояние, к которому стремится система в своем развитии. Пространство внутри аттрактора, в котором каждая частица (система), туда попавшая, постепенно смещается в заданном направлении, называют "зоной аттрактора". Различают простые и странные аттракторы. При состояниях системы, определяемых простым аттрактором, траектория развития системы является предсказуемой. При состояниях системы, определяемых странным аттрактором, "становится невозможным определить положение частиц (их поведение) в каждый данный момент.

Аттракторы бывают регулярными и нерегулярными.

Регулярными аттракторами принято считать: 
1. устойчивые (асимптотически устойчивые) особые точки  
2. устойчивые (орбитально асимптотически устойчивые) предельные циклы  
3. устойчивые инвариантные торы

Аттрактор-точка  возникает в диссипативных динамических системах (грубо говоря, в системах, где присутствует трение). Точки  фазового пространства, соответствующие  нулевому значению скорости и локальному минимуму потенциальной энергии, являются устойчивыми точками притяжения траекторий. 
Определение. В динамических системах возможна ситуация, когда малое отклонение от траектории-цикла приводит к траектории, которая со временем сколь угодно мало отклоняется от траектории-цикла. Такие циклы называются предельными циклами или асимптотически устойчивыми циклами.

Известно, что  дифференциальные уравнения на плоскости  могут иметь только регулярные аттракторы первых двух типов (особые точки и  предельные циклы). Дифференциальные уравнения  в многомерных фазовых пространствах (начиная с трёхмерных) могут иметь  странные аттракторы, не являющимися  объединением или пересечением гладких  многообразий.

Странный аттрактор — это аттрактор, не являющийся регулярным. Среди странных аттракторов часто встречаются хаотические аттракторы, в которых прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией.

Аттрактор Лоренца  рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три  начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца  ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом. Смоделировав свою систему  на компьютере, Лоренц выявил причину  ее хаотического поведения – разницу  в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к  экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому  расхождению. Вместе с тем, любой  аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости – возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации. В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. Скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора. Таким образом, основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.

Аттрактор Лоренца  был найден в численных экспериментах  Лоренца, исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы. Система Лоренца является одной из наиболее простых и универсальных моделей поведения системы, значительно удалённой от равновесного состояния. Впервые такая система была предложена для описания конвекции атмосферного слоя в вертикально распределённом поле температуры. В простейшем виде такое поведение представляется дифференциальными уравнениями:

 

которые определяют временные зависимости скорости конвективного потока , разности температур на противоположных границах слоя и отклонение градиента температур от постоянного значения. Для дальнейших расчетов параметры принимают значения:

σ= 10, r = 28 и b = 8/3

При данных значениях в системе устанавливается  хаотический автоколебательный  режим.

Эта система  вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b, но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

• Конвекция в замкнутой петле
• Вращение водяного колеса
• Модель одномодового лазера (например, одночастотный лазер)
• Диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью.

Обозначим физический смысл переменных и параметров в  системе уравнений применительно  к упомянутым задачам:

• Конвекция в плоском слое. x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z — за распределение температуры по горизонтали и вертикали. r — нормированное число Рэлея, σ — число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b — содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
• Конвекция в замкнутой петле. x — скорость течения, y — отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на π/2, z — то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
• Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
• Одномодовый лазер. x — амплитуда волн в резонаторе лазера, y — поляризация, z — инверсия населённостей энергетических уровней; b, σ — отношение коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r — интенсивность накачки.

Исходная гидродинамическая  система уравнений:

,

где - скорость течения, T - температура жидкости, T₀ - температура верхней границы (на нижней поддерживается T₀ + ΔT ), ρ - плотность, p - давление, - сила тяжести, γ,χ,ν - соответственно коэффициент теплового расширения, температуропроводности и кинематической вязкости.