Солитоны в твердом теле

    Начиная с 1960, на развитие теории солитонов  повлиял ряд физических задач. Была предложена теория самоиндуцированной прозрачности и приведены экспериментальные результаты, ее подтверждающие.

    В 1967 Крускалом и соавторами был  найден метод получения точного решения уравнения КдФ – метод так называемой обратной задачи рассеяния. Суть метода обратной задачи рассеяния состоит в замене решаемого уравнения (например, уравнения КдФ) системой других, линейных уравнений, решение которых легко находится. Этим же методом в 1971 советскими учеными В.Е.Захаровым и А.Б.Шабатом было решено НУШ.

2. Основные свойства и типы солитонов

    Дадим определение солитона . Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобными уединенными волнами, то есть представляет собой устойчивое образование. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз.

   Способность солитона сохранять при распространении свою форму неизменной объясняется тем, что поведение его определяется двумя действующими взаимно противоположно процессами. Во-первых, это, так называемое, нелинейное укручение, то есть фронт волны достаточно большой амплитуды стремится опрокинуться на участках нарастания амплитуды, поскольку задние частицы, имеющие большую амплитуду, движутся быстрее впереди бегущих. Во-вторых, проявляется такой процесс как дисперсия, то есть зависимость скорости волны от ее частоты, определяемая физическими и геометрическими свойствами среды; при дисперсии разные участки волны движутся с разными скоростями и волна расплывается. Таким образом, нелинейное укручение волны компенсируется ее расплыванием за счет дисперсии, что и обеспечивает сохранение формы такой волны при ее распространении.

    Отсутствие  вторичных волн при распространении  солитона свидетельствует о том, что энергия волны не рассеивается по пространству, а сосредоточена в ограниченном пространстве. Локализация энергии есть отличительное качество частицы.

   Еще одной удивительной особенностью солитонов, отмеченной еще Расселом, является их способность сохранять свои скорость и форму при прохождении друг через друга. Единственным напоминанием о состоявшемся взаимодействии являются постоянные смещения наблюдаемых солитонов от положений, которые они занимали бы, если бы не встретились. Есть мнение, что солитоны не проходят друг через друга, а отражаются подобно столкнувшимся упругим шарам. В этом также проявляется аналогия солитонов с частицами.

    В настоящее время описаны разновидности солитонов и некоторые комбинаций из них, например:

антисолитон – солитон отрицательной амплитуды;

бризер (дублет) – пара солитон – антисолитон (рис. 2);

мультисолитон – несколько солитонов, движущихся как единое целое (рис3);

 

флюксон – квант магнитного потока, аналог солитона в распределенных джозефсоновских контактах;

кинк (монополь), от английского kink – перегиб.

    Формально кинк можно ввести как решение уравнений КдФ, НУШ, СГ, описываемое гиперболическим тангенсом (рис. 4). Изменение знака решения типа «кинк» на противоположный дает «антикинк».  

    

    Кинки были обнаружены в 1962 англичанами Перрингом  и Скирмом при численном (на ЭВМ) решении уравнения СГ. Таким образом, кинки были обнаружены раньше, чем появилось название солитон. Оказалось, что столкновение кинков не привело ни к их взаимному уничтожению, ни к последующему возникновению других волн: кинки, таким образом, проявили свойства солитонов, однако название кинк закрепилось за волнами такого рода.

    Солитоны  могут быть также двумерными и  трехмерными. Изучение неодномерных солитонов осложнялось трудностями доказательства их устойчивости, однако в последнее время получены экспериментальные наблюдения и неодномерных солитонов. 

  1.3 Определение солитона: N-солитонные решения нелинейных эволюционных уравнений.

    В параграфах выше было рассказано о  истории развития теории солитонов, о свойствах и основных видах солитонов, здесь же будут приведены основные математические  уравнения относящиеся к теории солитонов, которые математически обосновывают ваше сказаннае.

    История солитонов есть на самом деле история трех нелинейных эволюционных уравнений, а именно уравнений КдФ :

      (1) 

нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) 

   (2)

Уравнения sine-Gordon (СГ-уравнения)

  (3)

Последнее принимает форму   

  (3.1)

в переменных светового конуса  . Оно становится эволюционным уравнением

    СГ-уравнение  впервые появилось в физике в  теории дислокаций. Оно описывает распространение вращений, условных или настоящих, в различных физических системах, например распространение флюксонов в джозефсоновских контактах  и распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов.

      Нелинейное уравнение Шрёдингера выделяется среди этих трех уравнений тем, что в нем U(x,t) является комплексной, а не вещественной величиной. Оно управляет эволюцией любой слабо нелинейной, сильно диспергирующей квазимонохроматической волны и, в частности, описывает эволюцию волны на глубокой воде. КдФ описывает слабонелинейный режим со слабой дисперсией на мелкой воде, тогда как четвертое уравнение, уравнение простой волны:

    

  (4)

управляет сильно нелинейными недиспергирующими  волнами. Как мы увидим, это уравнение также сыграло роль в развитии предмета, однако в отличие от КдФ, НУШ и СГ оно не имеет солитонных решений.

    Уединенная  волна уравнения КдФ (1), имеющего решение вида:

    

  (1.1)

 есть  единственное решение вида U(х-Vt), удовлетворяющее граничным условиям при . Забуски и Крускал имели дело с периодическими граничными условиями. Тем не менее они сделали замечательное наблюдение, установив, что произвольное начальное возмущение U(х,0) превращается при в набор уединенных волн, каждая из которых имеет форму (1.1), асимптотически хорошо разделенных и движущихся с различными скоростями. Такое поведение в действительности было известно Расселлу. Забуски и Крускал выдвинули на первый план другое свойство солитонов, а именно то, что два импульса формы (1.1) при , могут столкнуться в области конечных х, но выходят из столкновения с неизменными формами и скоростями. Имеется некоторый сдвиг их положений в выражениях (1.1) при   (фазовый сдвиг). Этот сдвиг обычно мал, но не всегда. Мы примем поэтому в качестве рабочего определения солитона следующее. Солитон — это уединенная волна, сохраняющая свою форму и скорость после столкновения с другой такой уединенной волной.

    Эти требования к уединенной волне являются весьма жесткими. Возьмем, например, «уравнение

», получившее свое название от плотности гамильтониана . Энергия ограничена снизу в случае знака минус. В таком виде это уравнение используется как модель в теории поля.   Уравнения движения в терминах зависимой переменной суть      (5)

Они имеют  решение в виде уединенной волны 

    

     (5.1)

    или решения типа «кинк» («антикинк»)

    

       (5.2)

Ни решения  (5.1), удовлетворяющие условиям , , ни кинки, удовлетворяющие , и , , не обладают требуемыми простыми столкновительными свойствами солитона. Эти решения могут неупруго сталкиваться, сцепляясь или уничтожая друг друга; кроме того, в процессе столкновения они всегда испускают некоторое осциллирующее возмущение. С другой стороны, уединенные волны или кинки довольно большого числа двумерных уравнений имеют солитонные столкновительные свойства. Среди них — уравнения КдФ, НУШ, СГ.

    Заметим, что солитон (1.1) с параметром будет обгонять второй солитон с параметром . Ясно, что он пройдет через второй солитон, так что асимптотически солитоны поменяются местами. Точно так же набор N солитонов уравнения КдФ с параметрами , упорядоченные в последовательность N, N—1, ..., 1, при станут упорядоченными естественным образом 1, 2, ..., N при . Такая интерпретация, однако, субъективна, поскольку можно считать, что солитоны, сохраняя порядок, просто обмениваются энергией, импульсом (и амплитудой) в процессе столкновения. Такое частицеподобное поведение и объясняет происхождение термина «солитон».

    Вторая  интерпретация может быть сохранена, хоть и не в таком простом виде, и в случае столкновения решений типа бризера и кинка СГ-уравнения. Аналитическая форма этих двух решений дается формулами

    

       (6)

    и

          (6.1)

соответственно. Само решение типа бризер плюс кинк содержит три параметра . Первое впечатление состоит в том что бризер проходит через кинк, приобретая лишь фазовый сдвиг. Основное, однако, в этих двух различных, но одинаково разумных интерпретациях состоит в том, что, во-первых, столкновения являются упругими, так что никакого дополнительного возмущения вроде «излучения» в процессе столкновения не возникает, и, во-вторых, решения могут быть найдены аналитически для всех времен с помощью, например, метода обратной задачи.

    Дадим краткое описание метода обратной задачи для решения нелинейных эволюционных уравнений   . Его основная идея состоит в следующем: поскольку никакого прямого способа построения по начальным данным обычно нет, можно попытаться связать с данным уравнением некоторую задачу рассеяния с рассеивающим потенциалом . Например, для уравнения КдФ задачей рассеяния является задача на собственные значения для оператора Шрёдингера:

    

     (7)

Начальное условие отображается с помощью задачи рассеяния на так называемые «данные рассеяния». Далее оказывается, что эволюция этих данных может быть найдена из нелинейного эволюционного уравнения. Последним шагом является вычисление потенциала по данным рассеяния в момент времени t = 0. Это может быть сделано с помощью линейных методов так называемой «обратной» задачи. Уравнения КдФ, НУШ, СГ — все они могут быть решены этим методом.

    Итак, три весьма различных на вид уравнения – КдФ  (1), НУШ  (2) и СГ (3) – имеют N-солитонные решения, в то время как «уравнение », таковых не имеет, это было показано выше. Уравнение простых волн (4) их также не имеет, поскольку оно вообще не имеет решений типа уединенной волны.