Динамическое исследование движения механизма

ВАРИАНТ 04

Рисунок – 4

Механическая система  состоит из груза 1 и 2  ступенчатого барабана 3, закрепленного на однородной балке 1. Грузы висят на нитях, намотанных на ступени барабана с радиусом R и r и радиусом инерции относительно оси вращения ρ. Необходимые данные приведены в таблице.

Дано: (строчка – 0):

№	m1	m2	m3	m4	F, H	M, Hм	R, м	r, м	ρ, м	L, м
0	200	100	50	300	100	200	0,6	0,3	0,4	1

 

Определить ускорение  барабана ( 3 способами) и реакции связей.

 

 

 

Решение:1. Расчленим систему и рассмотрим сначала движение барабана с грузами. Определим угловое ускорение барабана, применяя принцип Даламбера. (рисунок а).

 

 Введем координатные оси Сху. Изображаем силы: активные силы – силы тяжести и пару сил инерции с моментом , величины которых равны:

, , , ,  . (1)

Согласно принципу Даламбера, внешние силы (активные и реакции  связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил  уравнение равновесия:

(2)

Выразим ускорение грузов через угловое ускорение барабана:    ,    (3)

Подставив в уравнение (2) соответствующие величины из равенств (1) и (3) , найдем угловое ускорение

2. Определим угловое ускорение  вторым способом, применяя общее  уравнение динамики:

     (4)

где - сумма элементарных работ активных сил; - сумма элементарных работ сил инерции

 

Изображаем силы (рисунок  б): активные силы – силы тяжести  , силы инерции и момент сил инерции с моментом , величины которых равны:

, , , ,  .

Сообщая системе возможное  перемещение и составляя уравнение (1). получим:  (5)

Выразим все перемещения  через :

    ,    (6)

Подставив (2) и (6) в (5), приведем к виду:

Входящие сюда величины а₁, а₂ выразим через искомую величину ε₃, которые определемы в соотношении (3). 

Затем учтя, что  , приравняем выражение в скобках к нулю, в результате получим:

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Определим угловое ускорение третьим способом, используя уравнение Лагранжа 2 рода (рисунок в).

 Рассматриваемая  система  имеет одну степень свободы. Выбираем в качестве обобщенных координат угол поворота барабана φ₃. Тогда уравнение Лагранжа будут иметь вид:

;       (7)

 Определим кинетическую  энергию системы:

,     (8) 

Так как тело 1 и 2 совершают поступательное движение, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, то:

- тело 1 движется поступательно;

-  тело 2 движется поступательно;

-тело 5 вращается вокруг неподвижной  оси.

Все входящие сюда скорости выразим через обобщенную скорость :

,тогда ,  . Кроме того: . Подставляя все найденные значения скоростей и момента инерций, получим окончательно следующее выражения для Т:

  (9)

Отсюда находим

,  ,  

(10)

Определим обобщенную силу. Для определения сообщим системе возможное перемещения, при котором φ₃ получит перемещение:

Коэффициент при δφ будет искомой обобщенной силой, следовательно:

        (11)

Подставляя (10) и (11) в (7), получим следующее дифференциальное уравнение движения системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Рассмотрим барабан  с грузами как одну систему (рисунок г).

Введем координатные оси Аху, изображаем активные силы: силы тяжести и пару сил инерции с моментом , реакции связей – X_A, Y_A, R_B.

Согласно принципу Даламбера, составим для этой плоской системы  сил уравнения равновесия:

(12)

Решая эти уравнения с  учетом уравнений (1) и (3) и найденного значения ε₃, получим: