Численное исследование электронных состояний в сферических нанослоях

РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ

Факультет прикладной математики и информатики

Кафедра системного программирования

 

 

МАГИСТРСКАЯ РАБОТА

 

Численное исследование электронных состояний  в сферических нанослоях.

 

 

 

Руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор  А.А. Саркисян.

 

Студент:

Саканян Б.А.

 

 

 

 

ЕРЕВАН – 2012

Содержание.

1. Введение ………………………………………………………………………………………………….2
2. Квантовая механика  …………………………………………………………………………......4
3. История создания квантовой механики …………………………………………………5
4. Основные моменты и ключевые теории ……………………………………………….11
5. Потенциальная яма …………………………………………………………………………………15
6. Волновая функция ……………………………………………………………………………………16
7. Уравнение Шрёдингера …………………………………………………………………………..17
8. Стационарное уравнение Шредингера ………………………………………………….18
9. Зависимость потенциальной энергии от радиусов сфер ………………………19
10. Список литературы ……………………………………………………………………………………22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Экспериментальная реализация слоистых кольцеобразных полупроводниковых наноструктур позволяет рассмотреть ряд твердотельных квантово-механических задач, в которых исследуются электронные и оптические характеристики таких систем. Нетривиальная геометрия слоистых наноструктур дает возможность гибкой манипуляции энергетического спектра с помощью изменения геометрических размеров и форм изучаемых образцов.

Полученные теоретические результаты для слоистых наноструктур имеют общий характер и могут быть использованы для описания наноструктур с другими геометриями, являющимися предельными случаями слоистых квантовых точек. Например, если рассмотреть цилиндрический нанослой с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 и высотой L, то в качестве предельных случаев можно получить следующие структуры: 
1.Цилиндрические квантовые точки. 
2.Квантовые проволоки цилиндрического сечения. 
3.Квантовые ямы.

Ясно, что сильная зависимость энергетического спектра носителей заряда от геометрических параметров слоистых наноструктур делает возможным рассмотрение этих структур в качестве базового элемента для приборов нового поколения. Наряду с практической важностью, структуры со слоистой геометрией позволяют реализовать экспериментальное подтверждение основных принципов современной физики. В частности, экспериментальная реализация квантовых колец делает возможным изучение эффекта Ааронова-Бома для связанных состояний, а также осцилляции Ааронова-Бома для основного состояния электрона в аксиальном магнитном поле. Сферические квантовые слои интересны для исследования, поскольку они демонстрируют эффекты, которые присущи как квантовым ямам, так и сферическим квантовым точкам. В связи с этим сферические нанослои (СН) имеют ряд общих свойств с фуллеренами.

Электронные оптические и другие свойства СН широко исследованы различными авторами. Таким образом, СН может иметь широкое применение в наноэлектронике в качестве активной середины для оптикоэлектронных устройств нового поколения и глубокого понимания процессов, в этих структурах, что представляет большой интерес.

В данной работе рассматривается тема численного исследования электронных  состояний в сферических нанослоях.

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квантовая механика.

 

Квантовая механика - теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов), а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах.   Законы квантовой механики (в дальнейшем К.м.) составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение ядер атомных, изучать свойства элементарных частиц.

Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием  частиц, из которых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания  большинства макроскопических явлений. К. м. позволила, например, объяснить  температурную зависимость и  вычислить величину теплоёмкости газов и твёрдых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (например, Джозефсона эффект), в которых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов.

Так, квантово-механические законы лежат  в основе работы ядерных реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, используемых в новейшей технике, и т.д. Фундамент такой бурно развивающейся области физики, как квантовая электроника, составляет квантовомеханическая теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Квантовая механика становится в значительной мере «инженерной» наукой, знание которой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

История создания квантовой  механики.

 

В начале 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные  между собой) группы явлений, свидетельствующих  о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля (классической электродинамики) к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме.   Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая — с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами.         Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов К. м.

Впервые квантовые  представления (в т. ч. квантовая  постоянная h) были введены в физику в работе М. Планка (1900), посвященной теории теплового излучения.

Существовавшая  к тому времени теория теплового  излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамическое) равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, т.к. вся энергия рано или поздно должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, на основе чрезвычайно смелой гипотезы. В противоположность классической теории излучения, рассматривающей испускание электромагнитных волн как непрерывный процесс, Планк предположил, что свет испускается определенными порциями энергии — квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света μ и равна E = hμ.   От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся окончательной формулировкой К. м. в двух ее формах  (1927).

Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в которой  была дана теория фотоэффекта — явления вырывания светом электронов из вещества.  

 В развитие  идеи Планка Эйнштейн предположил,  что свет не только испускается  и поглощается дискретными порциями  — квантами излучения, но и  распространение света происходит такими квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету — что сам свет состоит из отдельных порций — световых квантов (которые позднее были названы фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний μ волны соотношением Планка     E = hμ. 

Дальнейшее  доказательство корпускулярного характера  света было получено в 1922  А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц — фотона и электрона. Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причем фотону наряду с энергией  E = hμ  следует приписать импульс р = h / λ = h μ / c,   где λ— длина световой волны.

Энергия и импульс фотона связаны  соотношением E = cp, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой.   Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции света) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц — фотонов. В этом проявляется дуализм света, его сложная корпускулярно-волновая природа.

Дуализм содержится уже в формуле   E = hμ,  не позволяющей выбрать какую-либо одну из двух концепций: в левой части равенства энергия E относится к частице, а в правой — частота μ является характеристикой волны. Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других — корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ квантовой механики.  

В 1924 Л. де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913  Н. Бором условиям квантования атомных орбит, выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствие волну, длина которой L связана с импульсом частицы р соотношением.  По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции.

В 1927 К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально

В 1926 Э. Шрёдингер предложил уравнение, описывающее поведение таких «волн» во внешних силовых полях. Так возникла волновая механика. Волновое уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерялитивистской К. м.

В 1928 П. Дирак сформулировал релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных уравнений релятивистской квантовой механики. 

 Вторая линия развития начинается  с работы Эйнштейна (1907), посвященной  теории теплоемкости твердых  тел (она также является обобщением  гипотезы Планка). Электромагнитное  излучение, представляющее собой  набор электромагнитных волн  различных частот, динамически эквивалентно  некоторому набору осцилляторов (колебательных систем). Излучение или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что излучение и поглощение электромагнитного излучения веществом происходят квантами энергии hμ. Эйнштейн обобщил эту идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твердых тел сводится к колебаниям атомов, то и твердое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии (энергий, которыми может обладать осциллятор) должна равняться hμ, где μ — частота колебаний атомов.

Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел. 

 В 1913 Н. Бор применил идею  квантования энергии к теории  строения атома, планетарная модель  которого следовала из результатов  опытов Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны.

Рассмотрение  такого движения на основе классических представлений приводило к парадоксальному  результату — невозможности стабильного  существования атомов: согласно классической электродинамике, электрон не может  устойчиво двигаться по орбите, поскольку  вращающийся электрический заряд  должен излучать электромагнитные волны  и, следовательно, терять энергию. Радиус  его орбиты должен уменьшится и за время порядка 10^–8 сек  электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в атоме, т.к. атомы существуют и чрезвычайно устойчивы.  

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения электрона  в электрическом поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, которые  удовлетворяют определённым условиям квантования. Т. е. в атоме существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии.