Трехпроводная электрическая цепь

(3.28)

.

    При симметричной системе напряжений (U_a = U_b = U_c = U_Ф) и симметричной нагрузке (I_a = I_b = I_c = I_Ф; φ_a = φ_b = φ_c = φ) фазные мощности равны P_a = P_b = P_c = P_Ф = U_Ф I_Ф cos φ; Q_a = Q_b = Q_c = Q_Ф = U_Ф I_Ф sin φ.

    Активная  мощность симметричного трехфазного  приемника

(3.29)

P = 3 P_Ф = 3 U_Ф I_Ф cos φ.

    Аналогично  выражается и реактивная мощность

(3.30)

Q = 3 Q_Ф = 3 U_Ф I_Ф sin φ.

    Полная  мощность

(3.31)

S = 3 S_Ф = 3 U_Ф I_Ф.

    Отсюда  следует, что в трехфазной цепи при  симметричной системе напряжений и  симметричной нагрузке достаточно измерить мощность одной фазы и утроить  результат.

Соединение  потребителей треугольником

    В общем случае несимметричной нагрузки активная мощность трехфазного приемника  равна сумме активных мощностей  отдельных фаз

(3.32)

P = P_ab + P_bc + P_ca,

где

(3.33)

P_ab = U_ab I_ab cos φ_ab; P_bc = U_bc I_bc cos φ_bc; P_ca = U_ca I_ca cos φ_ca; 
U_ab, U_bc, U_ca; I_ab, I_bc, I_ca – фазные напряжения и токи; 
φ_ab, φ_bc, φ_ca – углы сдвига фаз между напряжением и током.

    Реактивная  мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных  фаз

(3.34)

Q = Q_ab + Q_bc + Q_ca,

где

(3.35)

Q_ab = U_ab I_ab sin φ_ab; Q_bc = U_bc I_bc sin φ_bc; Q_ca = U_ca I_ca sin φ_ca.

    Полная  мощность отдельных фаз

(3.36)

S_ab = U_ab I_ab; S_bc = U_bc I_bc; S_ca = U_ca I_ca.

    Полная  мощность трехфазного приемника

(3.37)

.

    При симметричной системе напряжений (U_ab = U_bc = U_ca = U_Ф) и симметричной нагрузке (I_ab = I_bc = I_ca = I_Ф; φ_ab = φ_bc = φ_ca = φ) фазные мощности равны P_ab = P_bc = P_ca = P_Ф = U_Ф I_Ф cos φ; Q_ab = Q_bc = Q_ca = Q_Ф = U_Ф I_Ф sin φ.

    Активная  мощность симметричного трехфазного  приемника

P = 3 P_Ф = 3 U_Ф I_Ф cos φ.

    Аналогично  выражается и реактивная мощность

Q = 3 Q_Ф = 3 U_Ф I_Ф sin φ.

    Полная  мощность

S = 3 S_Ф = 3 U_Ф I_Ф.

    Так как за номинальные величины обычно принимают линейные напряжения и  токи, то мощности удобней выражать через линейные величины U_Л и I_Л.

    При соединении фаз симметричного приемника  звездой U_Ф = U_Л /  , I_Ф = I_Л, при соединении треугольником U_Ф = U_Л, I_Ф = I_Л /  . Поэтому независимо от схемы соединения фаз приемника активная мощность при симметричной нагрузке определяется одной и той же формулой

(3.38)

P =  U_Л I_Л cos φ.

где U_Л и I_Л – линейное напряжение и ток; cos φ – фазный.

    Обычно  индексы "л" и "ф" не указывают и формула принимает вид

(3.39)

P =  U I cos φ.

Соответственно  реактивная мощность

(3.40)

Q =  U I sin φ.

и полная мощность

(3.41)

S =  U I.

При этом надо помнить, что угол φ является углом сдвига фаз между фазными напряжением  и током, и, что при неизмененном линейном напряжении, переключая приемник со звезды в треугольник его мощность увеличивается в три раза:

Δ P = Υ 3P.

Измерение активной мощности в  трехфазных цепях

    Измерение активной мощности в трехфазных цепях  производят с помощью трех, двух или одного ваттметров, используя  различные схемы их включения. Схема  включения ваттметров для измерения  активной мощности определяется схемой сети (трех- или четырехпроводная), схемой соединения фаз приемника (звезда или треугольник), характером нагрузки (симметричная или несимметричная), доступностью нейтральной точки.

    При несимметричной нагрузке в четырехпроводной цепи активную мощность измеряют тремя ваттметрами (рис. 3.18), каждый из которых измеряет мощность одной фазы – фазную мощность.

Рис. 3.18

    Активная  мощность приемника определяют по сумме  показаний трех ваттметров

(3.42)

P = P₁ + P₂ + P₃,

где P₁ = U_A I_A cos φ_A; P₂ = U_B I_B cos φ_B; P₃ = U_C I_C cos φ_C.

    Измерение мощности тремя ваттметрами возможно при любых условиях.

    При симметричном приемнике и доступной  нейтральной точке активную мощность приемника определяют с помощью  одного ваттметра, измеряя активную мощность одной фазы P_Ф по схеме рис. 3.19. Активная мощность всего трехфазного приемника равна при этом утроенному показанию ваттметра: P = 3 P_Ф.

Рис. 3.19

Рис. 3.20

    На  рис. 3.19 показано включение прибора  непосредственно в одну из фаз  приемника. В случае, если нейтральная точка приемника недоступна или зажимы фаз приемника, включенного треугольником не выведены, применяют схему рис. 3.20 с использованием искусственной нейтральной точки n'. В этой схеме дополнительно в две фазы включают резисторы с сопротивлением R = R_V.

    Измерение активной мощности симметричного приемника  в трехфазной цепи одним ваттметром применяют только при полной гарантии симметричности трехфазной системы.

Измерение активной мощности двумя  ваттметрами

    В трехпроводных трехфазных цепях при симметричной и несимметричной нагрузках и любом способе соединения приемников широко распространена схема измерения активной мощности приемника двумя ваттметрами (рис. 3.21). Показания двух ваттметров при определенной схеме их включения позволяют определить активную мощность трехфазного приемника, включенного в цепь с симметричным напряжением источника питания.

    На  рис. 3.21 показана одна из возможных  схем включения ваттметров: здесь  токовые катушки включены в линейные провода с токами I_A и I_B, а катушки напряжения – соответственно на линейные напряжения U_AC и U_BC.

Рис. 3.21

    Докажем, что сумма показаний ваттметров, включенных по схеме рис. 3.21, равна  активной мощности Р трехфазного приемника. Мгновенное значение общей мощности трехфазного приемника, соединенного звездой,

(3.43)

p = u_A i_A + u_B i_B + u_C i_C.

Так как

(3.44)

i_A + i_B + i_C = 0.

то

(3.45)

i_C = -(i_A + i_B).

    Подставляя  значение i_C в выражение для р, получаем

(3.46)

p = u_A i_A + u_B i_B - u_C (i_A + i_B) = (u_A - u_C) i_A + (u_B - u_C) i_B = u_AC i_A + u_BC i_B.

    Выразив мгновенные значения u и i через их амплитуды, можно найти среднюю (активную) мощность

(3.47)

,

которая составит

(3.48)

P = U_AC I_A cos(U_AC^I_A) + U_BC I_B cos(U_BC^I_B) = P₁ + P₂.

    Так как U_AC, U_BC, I_A и I_B – соответственно линейные напряжения и токи, то полученное выражение справедливо и при соединении потребителей треугольником.

    Следовательно, сумма показаний двух ваттметров действительно равна активной мощности Р трехфазного приемника.

    При симметричной нагрузке

I_A = I_B = I_Л, U_AC = U_BC = U_Л.

Рис. 3.22

    Из  векторной диаграммы (рис. 3.22) получаем, что угол α между векторами U_AC и I_A равен α = φ - 30°, а угол β между векторами U_BC и I_Bсоставляет β = φ + 30°.

    В рассматриваемом случае показания  ваттметров можно выразить формулами

(3.49)

P₁ = U_Л I_Л cos(φ - 30°),

(3.50)

P₂ = U_Л I_Л cos(φ + 30°).

    Сумма показаний ваттметров

(3.51)

P₁ + P₂ = U_Л I_Л [cos(φ - 30°) + cos(φ + 30°)] =  U_Л I_Л cos φ.

    Ввиду того, что косинусы углов в полученной формуле могут быть как положительными, так и отрицательными, в общем  случае активная мощность приемника, измеренная по методу двух ваттметров, равна алгебраической сумме показаний.

    При симметричном приемнике показания  ваттметров Р₁ и Р₂ будут равны только при φ = 0°. Если φ > 60°, то показания второго ваттметра Р₂будет отрицательным.

    Для измерения активной мощности в трехфазных цепях промышленных установок широкое  применение находят двухэлементные трехфазные электродинамические и  ферродинамические ваттметры, которые  содержат в одном корпусе два  измерительных механизма и общую  подвижную часть. Катушки обоих  механизмов соединены между собой  по схемам, соответствующим рассмотренному методу двух ваттметров. Показание  двухэлементного ваттметра равно  активной мощности трехфазного приемника.