Теория автоматического управления

 скорость  быстрого хода:     

 нижний  предел:               

 рабочая скорость:    

      На основе этих  данных строится  график зависимости  угловой скорости  от момента на  валу  рис. 5 и график напряжения задания Uз, необходимого для заданных скоростей резания рис.6.

    

Рис.5   График зависимости угловой скорости от рабочего момента 

    Найдем напряжение, которое нужно подавать на двигатель, чтобы обеспечить заданную подачу

    :

 

Рис.6   Зависимость угловой скорости от напряжения

питания электродвигателя 
 
 
 

3. Расчет частотных  характеристик САУ,  определение

запасов и областей устойчивости, критического

коэффициента  усиления 

3.1. Частотные характеристики 

          Важную  роль при описании линейных автоматизированных систем играют частотные  характеристики, широко используемые при  анализе и синтезе  системы автоматического  регулирования.

          

     Если  на вход линейной разомкнутой  системы подать гармоническое  возмущение, то по истечении  некоторого времени  после подачи такого возмущения, когда  затухнут все движения, определяемые переходным процессом, на выходе системы установится  также гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с иными амплитудой и фазой. Амплитуда и фаза на выходе при прочих равных условиях будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. По этим характеристикам можно судить о динамических свойствах не только звеньев, но и сложных замкнутых САУ.

     Для нахождения частотных  характеристик необходимо наличие общей  передаточной функции  системы автоматического  регулирования.

     Для упрощения структурной  схемы и получения  передаточной функции всей системы применим структурные преобразования, основанные на принципе суперпозиции. 

3.1.1 Частотные характеристики (по  задающему воздействию). 

     Используя основные положения  преобразования структурных  схем (сведение нескольких последовательно  соединенных передаточных функций с образованием одной объединенной передаточной функции; объединение передаточных функций в контуры с обратной связью) получим передаточную функцию замкнутой системы с сигналом по задающему воздействию:

       

  
 

     Если в передаточную функцию системы подставить выражение и выделить действительную и мнимую части, то можно построить частотные характеристики. В алгебраической форме передаточная функция может быть представлена следующим образом:

,

  где:

– вещественная часть;

– мнимая часть.

     Применяя  зависимость  и задаваясь значениями строится амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Амплитудно-частотная характеристика показывает зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты входного сигнала. Вид амплитудно-частотной характеристики представлен на рис. 7.

     

Рис.7   Амплитудно-частотная характеристика САУ по задающему воздействию 

     Фазо-частотная  характеристика (ФЧХ) строится по зависимости следующего вида:

.

     Откладывая  значения фазы, соответствующие разным частотам получаем график фазо-частотной характеристики приведенный на рис 8. Фазо-частотная характеристика показывает зависимость фазы выходных колебаний от частоты входного сигнала. 
 

     

     

       

Рис.8   Фазо-частотная характеристика САУ по задающему воздействию 
 
 

Амплитудно-фазочастотная  характеристика (АФЧХ) получается из совокупности вещественной и мнимой частей передаточной функции, построенной соответственно на осях X и Y, декартовой системы координат. При непрерывном изменении частоты происходит изменение модуля и фазы вектора. Конец вектора описывает на плоскости некоторую кривую, называемую годографом. Годограф — геометрическое место точек конца вектора на плоскости при изменении частоты от 0 до ¥. Значения частот откладываются непосредственно на годографе, который таким образом, является амплитудно-фазо-частотной характеристикой. Для определения модуля и фазы на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямой с началом координат. Длина полученного отрезка соответствует в определенном масштабе модулю, а фаза определяется углом, образованным этой прямой и положительной полуосью действительных величин. Графическое представление АФЧХ отображено на рис. 9.  
 
 
 

Рис.9 Амплитудно-частотная характеристика САУ по задающему воздействию 
 

3.2 Оценка устойчивости  системы. 

     Автоматические  системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта  регулирования при  действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение  может быть достигнуто лишь в системах автоматического  регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малые изменения входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отклонениям выходного сигнала.

     Прямой  метод анализа устойчивости систем, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней. В инженерной практике существуют правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней, называемые критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет система, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

     Проверку  системы автоматического  регулирования на устойчивость будем производить с помощью алгебраического критерия Гурвица и частотного критерия Михайлова.

Алгебраический  критерий Гурвица позволяет, не решая уравнения, сказать, где на комплексной плоскости расположены его корни.

Запишем общую передаточную функцию всей системы 
,

по  передаточной функции  системы составим характеристическое уравнение

Общий вид характеристического  уравнения выгладит так:

, где

  n — порядок характеристического уравнения

     Из  коэффициентов характеристического  уравнения построим главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной  диагонали определителя  слева направо  выписываются все  коэффициенты характеристического  уравнения от С₁ до С_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз — коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n (где n — порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляются нули: 

 

       Выделяя в главном определители Гурвица диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего  порядка 

 

     Номер определителя Гурвица зависит от номера коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель. Чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента С₀ характеристического уравнения, т.е. были положительными, так как С₀ всегда можно подобрать положительным.

Подставляя  данные в определители, находим:

     В соответствии с формулировкой  критерия Гурвица  можно сделать  вывод о том, что  данная система автоматического регулирования является устойчивой. 
 
 

     Критерий  Михайлова — частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой (или разомкнутой) системы по поведению ее характеристического вектора на комплексной плоскости.

     

Характеристический вектор получают путем подстановки в выражение для характеристического полинома

значения  .

     Задаваясь различными значениями w в полярных координатах можно получить кривую, называемую годографом характеристического вектора или годографом Михайлова рис. 10.

     

Рис.10 Годограф Михайлова 

Годограф  Михайлова начинается (при w=0) на вещественной оси, а при w=¥ уходит в бесконечность в соответствующем квадранте.

     Для устойчивости системы  по критерию Михайлова, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена замкнутой системы (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки), не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости (здесь n — порядок характеристического уравнения системы).

т.е.

     Анализируя  годограф Михайлова  рис. 10 с помощью вышеприведенной формулировки критерия делаем вывод об устойчивости САУ.  

3.3 Предельный коэффициент  усиления.

     Критерий  Гурвица не дает возможности оценить запас устойчивости и быстроту затухания колебательного переходного процесса. Иногда его используют для определения тех значений какого-либо параметра, при которых система остается устойчивой.

Коэффициенты  характеристического  уравнения системы  определяют через  параметры устройств  системы. Если считать  тот или иной параметр изменяющимся, то, естественно, будут меняться определители системы, так как  коэффициенты характеристического уравнения приобретают различные значения.

     Найдем  предельный коэффициент  тиристорного преобразователя  К_ТП, используя алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Предельным  называется такое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.