Распределение электромагнитного поля по сечению прямоугольного проводника

 

РЕФЕРАТ

 

 

Выпускная квалификационная работа на тему «Исследование зависимости активного и индуктивного сопротивлений прямолинейного проводника коробчатого сечения от его геометрических размеров и частоты протекающего тока» выполнена на 67 листах формата А4 пояснительной записки и на 6 листах формата А1 графической части.

Целью работы было исследование зависимости изменения коэффициентов поверхностного эффекта проводника прямоугольного сечения от его геометрических размеров и частоты протекающего тока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

стр

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..5

1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОВЕРХНОСТНЫЙ  ЭФФЕКТ НА ПРИМЕРЕ ПРОВОДНИКА  ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ……………………………….7

1.1 Одномерная аналитическая модель…………………………………………….7

1.1.1 Расчет комплексного сопротивления прямоугольного проводника………15

1.2 Влияние конечных размеров  плоского проводника прямоугольного 

сечения на величину его активного  сопротивления……………………………..17

2 МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ параметров

Электромагнитного поля ПО СЕЧЕНИЮ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДНИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ……………………………...20

2.1 Алгоритм расчета активного и индуктивного сопротивления прямолинейного одиночного проводника прямоугольного сечения в 2D постановке в среде ANSYS v 11.0…………………………………………………20

2.2 Электромагнитные процессы в прямолинейном проводнике

прямоугольного поперечного  сечения ………………..………………………….55

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ АКТИВНОГО И

ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКА

ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ………………………………………………...57

Заключение……………………………………………………………………..73

список использованных источников………………………………74

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Скин-эффект (от англ. skin — кожа, оболочка), поверхностный эффект, затухание электромагнитных волн по мере их проникновения в глубь проводящей среды, в результате которого, например, переменный ток по сечению проводника или переменный магнитный поток по сечению магнитопровода распределяются не равномерно, а преимущественно в поверхностном слое. Скин-эффект обусловлен тем, что при распространении электромагнитной волны в проводящей среде возникают вихревые токи в результате чего часть электромагнитной энергии преобразуется в теплоту. Это и приводит к уменьшению напряженностей электрического и магнитного полей и плотности тока, т. е. к затуханию волны. 

 Чем выше частота электромагнитного поля и больше магнитная проницаемость проводника, тем сильнее (в соответствии с Максвелла уравнениями) вихревое электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем, а чем больше проводимость проводника, тем больше плотность тока и рассеиваемая в единице объёма мощность (в соответствии с законами Ома и Джоуля — Ленца). Таким образом, чем больше частота электромагнитного поля, магнитная проницаемость проводника и проводимость  проводника, тем сильнее затухание, т. е. резче проявляется скин-эффект. 

 В случае плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси х в хорошо проводящей, однородной, линейной среде (токами смещения по сравнению с токами проводимости можно пренебречь), амплитуды напряжённостей электрического и магнитного полей затухают по экспоненциальному закону:

 

 где

 

α - коэффициент затухания, μ - магнитная проницаемость проводника, μ₀ - магнитная постоянная, σ – удельная проводимость проводника. На глубине x = α амплитуда волны уменьшается в е раз. Это расстояние называется глубиной проникновения или толщиной скин-слоя. В идеальный проводник (с бесконечно большой проводимостью) электромагнитная волна вовсе не проникает, она полностью от него отражается. Чем меньше расстояние, которое проходит волна, по сравнению с x, тем слабее проявляется скин-эффект.

Скин-эффект часто нежелателен. В проводах переменный ток при сильном скин-эффекте протекает главным образом по поверхностному слою; при этом сечение провода не используется полностью, сопротивление провода и потери мощности в нём при данном токе возрастают. В ферромагнитных пластинах или лентах магнитопроводов трансформаторов, электрических машин и других устройств переменный магнитный поток при сильном скин-эффекте проходит главным образом по их поверхностному слою; вследствие этого ухудшается использование сечения магнитопровода, возрастают намагничивающий ток и потери в стали. «Вредное» влияние скин-эффекта ослабляют уменьшением толщины пластин или ленты, а при достаточно высоких частотах — применением магнитопроводов из магнитодиэлектриков.

Выпускная работа бакалавра выполнялась  в соответствии и в рамках проекта  № 2.1.2/4159 по аналитической ведомственной  целевой программе «Развитие  научного потенциала высшей школы (2009-2010)».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ НА ПРИМЕРЕ ПРОВОДНИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

 

 

1.1. Одномерная аналитическая модель

 

 

На рисунке 1.1 изображен проводник прямоугольного сечения, обтекаемый током I. Поле в проводнике удовлетворяет уравнению Гельмгольца [1].

 

 

Рисунок 1.1 Прямоугольный проводник

 

Внутри проводника существуют электромагнитное поле и ток проводимости. За пределами проводника (удельная проводимость ) ток проводимости отсутствует, но электрическое и магнитное поля существуют. Так как внутреннее и внешнее электромагнитные поля взаимосвязаны, то при решении задачи о расчете поля внутри проводника необходимо знать законы распределения поля и за ее пределами.

Таким образом, при строгом подходе  нужно решать задачу о расчете поля во всем пространстве — внутри и за пределами проводника.

Так как эта задача очень сложна для точного аналитического решения, сформулируем такие условия и допущения, при которых задачу о поверхностном эффекте в проводнике можно будет решить приближенно с хорошей точностью. Сначала рассмотрим поле в круглом проводнике (рисунок 1.2).

 

 

Рисунок 1.2 Распределение магнитных линий в круглом проводнике

 

Магнитные линии  представляют собой концентрические  окружности. В данном примере поток, обусловленный током в проводе, разделяется на две составляющие - внутренний и внешний. Это свойство круглого проводника используется в инженерной практике при определении внутренней индуктивности провода. Как видно из рисунка 1.3, при квадратном сечении провода такое четкое разграничение потоков сделать нельзя, так как контур сечения уже не является силовой линией.

 

 

Рисунок 1.3 Распределение магнитных линий в квадратном проводнике

 

Определим, какое  влияние оказывает геометрия проводника на распределение поля в ее объеме. Из рисунка 1.4 следует, что по мере увеличения относительных размеров силовые линии внутри проводника начинают принимать очертания, приближающиеся к форме внешнего контура проводника. Если же отношение (рисунок 1.5), то практически во всем объеме проводника вектор магнитной напряженности становится направленным вдоль большей боковой поверхности проводника, т. е. в сторону координаты . Если теперь пренебречь краевыми эффектами, то для проводника при возможно решение задачи в системе координат (x, y, z) в предположении, что

,

,

,

.

 

 

Рисунок 1.4 Распределение магнитных линий в прямоугольном проводнике

 

 

Рисунок 1.5 Распределение магнитных линий в прямоугольном проводнике при

 

 

Рисунок 1.6 Прямоугольный проводник

 

Поставим задачу: рассчитать распределение поля и в объеме прямоугольного проводника (рисунок 1.6) и вычислить ее комплексное сопротивление синусоидальному току, если проводник обтекается током I с частотой ω. Параметры среды: μ, γ. Принятое допущение приводит к уравнению Гельмгольца (индекс х в дальнейшем опустим) относительно вектора электрической напряженности

,                                             (1.1)

где

.

Решением уравнения (1.1) является совокупность экспоненциальных функций

,                                             (1.2)

.                                                   (1.3)

Запишем общее решение для , используя второе уравнение Максвелла . Поскольку в рассматриваемом случае , то

.                                            (1.4)

С учётом (1.2)

.                                    (1.5)

Далее отыщем постоянные интегрирования С₁ и С₂. Поскольку исследуемое поле обладает симметрией следовательно, из (1.2) имеем

.

Очевидно, что последнее равенство справедливо, если С₁ = С₂ = С/2.

Тогда с учетом условия симметрии выражения (1.2) и (1.5) будут иметь вид соответственно

,                                       (1.6)

.                                            (1.7)

Постоянная интегрирования С пропорциональна заданному в проводнике току I.

Выделим некоторый участок (рисунок 1.7).

 

Рисунок 1.7 Выделение малого участка  из прямоугольного проводника

 

 

 

Тогда

.                                           (1.8)

Учтем далее, что  и, подставив (1.6) в (1.7), получим

.

Отсюда находим

.                                                (1.9)

В итоге окончательное решение для имеет вид:

.                                         (1.10)

Подстановка (1.9) в (1.7) с учетом (1.1) позволяет получить решение для магнитной напряженности:

.                                (1.11)

Таким образом, (1.10) и (1.11) есть окончательные  выражения для электрической  и магнитной напряженностей и в объеме проводника.

 

Рисунок 1.8 Распределение плотности тока в объеме проводника

 

Интерес представляет качественный анализ распределения  плотности тока в объеме проводника (рисунок 1.8). В соответствии с законом Ома для плотности тока в проводнике имеем

.

Картина распределения  очевидно, будет зависеть от коэффициента распространения

.

Если на низких частотах параметр мал , то при малом аргументе , , и тогда

.

Таким образом при этих условиях ток равномерно распределяется по проводнику и поверхностный эффект не проявляется. По мере роста частоты картина изменяется, поскольку с ростом параметра увеличивается неравномерность распределения тока по сечению проводника.

 

Рисунок 1.9 График функции H(z)

 

Из графика  на рисунке 1.9 видно, что при переходе через начало координат функция H(z) меняет знак. Кроме того, на поверхности проводника , что соответствует закону полного тока. При т. е. при слабо выраженном поверхностном эффекте H(z) изменяется практически по линейному закону. С ростом начинает проявляться поверхностный эффект.

 

 

1.1.1 Расчет комплексного сопротивления прямоугольного проводника

 

 

Для расчета сопротивления  проводника синусоидальному току воспользуемся  известной формулой, непосредственно  вытекающей из теоремы Пойнтинга:

.                                                   (1.12)

Возьмем кусок проводника длиной l (рисунок 1.12) и условимся, что замкнутая поверхность, охватывающая этот проводник, состоит из следующих частей:

                                      .

 

 

Рисунок 1.10 Прямоугольный проводник

 

Так как на поверхностях S_т и , то потоки энергии поступают в проводник только через боковые вертикальные поверхности слева и справа, а в силу осевой симметрии они одинаковы. Это значит, что

                                        .