Статистическая обработка результатов измерений

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический  университет

имени Гагарина Ю. А.

 

 

 

 

 

 

Кафедра «Радиотехника»

 

 

 

 

 

Курсовая  работа по дисциплине

«Метрология, стандартизация и сертификация»

на тему:

«Статистическая обработка результатов измерений»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               

 

                                                  Выполнил: студент группы МТС-41з

                         Нуйкин О.Н.

                       

                                                                       Проверил: ____________

                                                         

                                                              Работа выполнена с помощью пакета Microsoft Office

 

 

 

 

Саратов 2012 

Содержание:

 

Введение ……………………………………………………………………….4

 

2. Систематические и случайные погрешности……………………………...8

 

3. Описание случайных погрешностей с помощью функций

    распределения ……………………………………………………………….9

4. Нормальное распределение при ограниченном числе наблюдений.        Распределение Стьюдента………………………………………………... 12

5. Задание на выполнение работы.…………………………………………....18

 

6. Обработка результатов измерений.………………………………………...19

 

Заключение.…………………………………………………………………….20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Целью курсовой работы является освоение методики статистической обработки результатов прямых равноточных многократных измерений сопротивления резистора, предназначенного для аттенюатора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Любой процесс сопоставления меры с измеряемым объектом никогда не может быть идеальным в том  смысле, что процедура, повторенная  несколько раз, обязательно даст различные результаты. Поэтому, с  одной стороны, невозможно в процессе измерения сразу получить истинное значение измеряемой величины, и, с другой стороны, результаты любых двух повторных измерений будут отличаться друг от друга. Причины расхождений могут быть самыми разнообразными, но условно их можно разделить на две группы.

Первая группа расхождений результатов  измерения - возможные изменения свойств самого измеряемого объекта. Например, при измерении длины размер предмета может измениться под действием температуры - хорошо известное свойство тел расширяться или уменьшаться при изменении температуры. В других видах измерения встречается та же самая ситуация, т. е. под влиянием температуры может измениться давление в замкнутом объеме газа, может измениться сопротивление проводника, коэффициент отражения поверхности и т. д.

Вторая группа расхождений - несовершенство средств измерений, несовершенство методики измерений или недостаточная квалификация и тщательность работы оператора. Этот тезис достаточно очевиден, тем не менее, оценивая погрешности измерений, нередко забывают о том, что эти факторы нужно учитывать в комплексе. Измерительная практика показывает, что грубым прибором можно получить достаточно близкие к истинным значениям результаты за счет совершенствования методики или искусства оператора. И наоборот, самый точный прибор даст ошибочные результаты, если в процессе измерения не соблюдаются предпосылки реализации метода.

Учитывая  факторы обеих групп, невозможно получить абсолютно точно значение измеряемой физической величины. Во всех реальных ситуациях этого и ненужно. В измерительной технике существует критерий достаточности, то есть расхождение между результатом измерения и истинным значением всегда определяется конкретной задачей. Нет смысла, например, измерять климатические параметры в помещении с точностью лучше 1%. С другой стороны, при воспроизведении единиц длины такая точность явно не обеспечит необходимых требований.

Разброс результатов однократных  измерений одной и той же величины, связанных либо с изменениями  свойств измеряемого объекта, либо с неидеальностью процедуры измерения, заставляет относиться к получению каждого конкретного результата как к процессу вероятностному. Соответственно, к описанию и расчету погрешностей становится применима теория вероятности, а статистика становится неотъемлемым элементом процедуры оценки точности измерений при оценке погрешностей.

Рассматривая последовательно  виды погрешностей и способы их минимизации, повторим определение погрешности.

«Погрешность измерения есть разница Д между результатом измерения Х и действительным значением этой величины, под которым подразумевается ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному Q, что для данной цели оно может быть использовано вместо него», т. е.

       (1)

Погрешности измерения, связанные  с непостоянством размера измеряемого объекта и с несовершенством средств измерения, можно объединить в две группы.

1. Погрешности, связанные с факторами, которые изменяются при повторных измерениях хаотически, носят нерегулярный характер и их трудно предвидеть. Такие погрешности называются случайными. Иногда подобные изменения могут проявиться очень сильно, например при резком однократном изменении напряжения питания прибора. В этом случае погрешность значительно превышает границы, определяемые ходом процесса измерений в целом и ее называют грубой погрешностью или промахом.
2. Погрешности, определяемые факторами либо постоянно искажающими результат измерения, либо постоянно изменяющимися в процессе измерения называются систематическими погрешностями. Эти погрешности непросто определить, если их значение меньше или сопоставимо со случайными погрешностями.

Обозначим случайные погрешности  как σ, систематические как Θ. Суммарную погрешность Δ можно представить как

          (2)

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величины, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной и затем проводят математическую обработку массива данных. В большинстве случаев проводят анализ результатов путем построения графика зависимости погрешности Δ от номера наблюдения, выстраивая такие номера как функцию времени наблюдения, или в порядке возрастания погрешности. Рассмотрим подробнее зависимость результата измерения от времени.

В этом случае погрешность Δ является случайной функцией времени, которая  отличается от классических функций  математического анализа тем, что  нельзя точно сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятность появления ее значений в том или ином временном интервале. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции.

При повторении серии измерений, мы получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.

Точность измерений - понятие, характеризующее качество измерений. Чем выше точность, тем меньше и систематическая и случайная погрешность. Иногда класс точности измерительного прибора выражают как погрешность, отнесенную к концу шкалы, т. е.

       (3)

где Х - абсолютное значение измеряемой величины, отнесенное к концу шкалы.

Правильность измерений характеризует либо отсутствие, либо малость систематической погрешности, т. е. случай, когда

      (4)

Воспроизводимость измерений характеризует малость случайной погрешности при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях одним и тем же методом, т. е.

       (5)

Сходимость измерений характеризует близость друг к другу результатов измерений, выполненных в различных условиях, различными методами, различным и экземплярам и однотипных приборов, на различных типах приборов.

 

Систематические и случайные  погрешности

Систематические погрешности не изменяются при увеличении числа измерений, поскольку согласно определению остаются постоянными или изменяются по определенному закону в процессе измерения. Систематические погрешности могут быть выявлены на основе теоретических оценок результатов, путем сопоставления результатов, полученных разными методами, на разных приборах. Имеются возможности определить систематические погрешности путем тщательного исследования средства или метода измерений путем построения зависимости результатов от какого-либо изменяющегося параметра, например времени, климатических условий, электромагнитных полей, напряжения питания и т.д. В ряде случаев необходимо выполнить большой объем исследовательской работы для того, чтобы выявить условия, создающие систематические погрешности и, соответственно, представить либо график, либо таблицу поправок, либо определить аналитическую зависимость систематической погрешности от какого-либо параметра.

На результат измерения влияют несколько факторов, каждый из которых  вызывает свою систематическую погрешность. В этом случае выявление аналитического вида погрешности значительно усложняется, приходится проводить трудоемкие тщательные исследования, которые иногда оканчиваются неудачей. Тем не менее, необнаруженная систематическая погрешность опаснее случайной, т.к. последняя может быть минимизирована соответствующей методикой измерения, а систематическая невыявленная погрешность исказит результат непредсказуемо.

Особую категорию систематических  погрешностей составляют измеренные с недостаточной точностью фундаментальные и физические константы, используемые в процессе измерения. То же самое относится к неточностям в стандартных справочных данных, или к недостаточно точной аттестации стандартных образцов. Появление более точных справочных данных требует пересчета результатов всех измерений с их использованием, или переградуировки шкал приборов. Например, получение более точных данных о давлении насыщающих паров индивидуальных веществ может привести к необходимости переградуировки термометров, манометров, приборов для измерения концентраций и т. д.

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения

Случайный характер выпадения того или иного определенного результата измерения Х означает, что причины его появления настолько разнообразны, что невозможно заранее предсказать реализацию этого события. Можно говорить только в его вероятности появления при ограниченном или бесконечно большом числе измерений. Обозначая истинное значение измеряемой величины как Q, будем под символом X_i понимать результат измерения в опыте с номером i.

Задача, которая ставится перед  метрологом, желающим приблизиться к  истинному значению измеряемой величины Q и оценить вероятность определенного отклонения в единичном опыте или в серии измерений, состоит в отыскании закона распределения вероятности получения определенного результата от какого-либо аргумента, связанного с отклонением результата от истинного значения. Наиболее универсальным способом достижения этой цели является отыскание интегральных и дифференциальных функций распределения вероятности.

Под интегральной функцией распределения вероятности выпадения определенного результата во множестве повторяющихся измерений (F_x) понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения Х в i-ом опыте окажется меньше, чем некоторое значение х, т. е.

     (6)

где знаком Р обозначена вероятность попадания результата в интервал, записанный в фигурных скобках.

Наглядное представление о смысле интегральной функции распределения может быть получено если рассматривать числовую ось, на которой отложены значения аргумента х. Интегральная функция распределения численно равна вероятности того, что случайная точка X_i , в результате i-го измерения займет положение левее точки х'.

При таком определении функция  распределения F(x) не может уменьшаться, т. е. F(x) является функцией возрастающей. При движении точки х' влево по числовой оси очевидно, что искомая вероятность будет стремиться к нулю, а при движении х' вправо функция F(x) стремится к единице. Это практически означает, что любой результат измерения попадет в какое-либо значение на числовой оси. Вероятность попадания в бесконечно малое значение х' равно нулю.

Интегральная функция распределения  имеет еще одно свойство - непрерывность. Оно выражает тот факт, что результат наблюдения может принять любое до опыта выбранное значение только с нулевой вероятностью.

На самом деле в реальных измерениях это не совсем так. Особенно понятно это с позиций современной квантовой теории. Квантовый (дискретный) характер изменения измеряемой величины, конечная разрешающая способность любого средства измерения, приводят к тому, что область значений измеряемой величины разбивается на ряд участков, в пределах которых данная величина постоянна или неразличима для наблюдателя. Поэтому интегральная функция распределения реально изменяется скачками на некоторое значение при переходе от одного участка числовой оси к другой.