Статикат, динамика , кинематика

   (11)

Умножая здесь обе  части на и снова и интегрируя, найдем:

  (12)

7. Определим постоянные  интегрирования  , . Для этого запишем начальные условия для участка ВС, считая, что в момент нахождения груза в точке В - .

при   

Подставляя первое из этих условий в выражение (12), получим:

, откуда найдем, что 

Подставляя второе условие в выражение (10), найдем:

, то есть 

8. Определим закон  движения груза на участке  ВС. Для этого вычислим величину  и , и найденные значения и подставим в формулу (12),

,

где х – в метрах, t – в секундах.

 

 

 

 

Контрольное задание Д-2

Механическая система  состоит из сплошного катка, ступенчатого шкива 2 и груза соединенных в  единую систему тел с помощью невесомых нитей, намотанных на ручьи шкива 2.

Из положения равновесия систему выводит сила . Определить один из кинематических параметров движения системы, когда система под действием силы передвинулась на расстояние S₁ (соответствующую перемещению тела 1).

Дано: m₁ = 8 кг; m₂ = 2,5 кг; m₃ = 5 кг; М₂ = 0,4 Нм; F = 20(2+3S); S₁ = 1,2 м; ; R₂ = 0,3 м; r₂ = 0,2 м

 

Рисунок 6.1.

Найти: ω₁ - ?

Так как тело 1 движется поступательно, то найти угловую скорость ω₁ не предоставляется возможным, поэтому определим линейную скорость V₁ тела 1.

Решение:

1. Выберем неизменяемую  механическую систему, движение  которой будем рассматривать

В данном случае целесообразно  выбрать неизменяемую механическую систему, состоящую из весомых тел 1, 2, 3 соединенных нитями.

2. Изобразим действующие  на систему внешние силы: активные  , , , , реакции , , силы трения , .

3. Для определения  воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии для неизменяемой системы:

      (1)

4. Вычислим кинетическую  энергию системы  в начале движения. Так как в начальный момент система находилась в покое, то .

Рисунок 6.1.

5. Вычислим кинетическую  энергию системы  в конечном положении системы (когда центр тела 1 переместится на расстояние )

Величина  будет равна сумме кинетических энергий всех весомых тел, входящих в систему:

      (2)

Учитывая, что тело 1 движется поступательно; тело 3 - плоскопараллельно, а тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, получим:

; ;     (3)

6. Выразим все входящие  в формулы (3) скорости через  искомую  .

Предварительно заметим, что точка - мгновенный центр скоростей катка 3, радиус которого обозначим . Тогда

; ;    (4)

7. Вычислим моменты  инерции, входящие в выражения  (3)

;      (5)

8. Выразим кинетическую энергию через искомую величину .

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3) и далее в формулу (2), окончательно получим:

 (6)

9. Найдем сумму работ  всех действующих внешних сил при том перемещении, которое 6удет иметь система, когда тело 1 пройдет путь

Введя обозначения: - перемещение центра катка 3; - угол поворота шкива 2, получим

;

;

;

Работы остальных сил  равны нулю, так как точка , где приложены силы , - мгновенный центр скоростей (неподвижная точка); точки, где приложены силы , неподвижны; а и перпендикулярны перемещению груза 1.

Величину надо выразить через заданное перемещение ; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями (в этом можно убедиться, интегрируя неизменные зависимости между соответствующими скоростями). Тогда, поскольку , то и , соответственно. При найденных значениях и для суммы всех вычисленных работ получим

    (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что  , приведем к равенству

 (8)

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .

Ответ: .

 

 

Контрольное задание Д-3

Вертикальный невесомый вал вращается с постоянной угловой скоростью ω = 5 1/с. Вал имеет две опоры: подпятник А и цилиндрический подшипник В. К валу жестко прикреплен невесомый стержень 1 длинной l₁ = 0,6 м с сосредоточенной массой m₁ = 6 кг на его конце, а так же однородный стержень 2 длинной l₂ = 0,8 м с массой m₂ = 8 кг. Пренебрегая весом вала и считая b = 0,3 м, определить реакции опор: подпятника А и шарнира В.

Дано: ω = 5 1/с; m₁ = 6 кг; m₂ = 8 кг; l₁ = 0,6 м; l₂ = 0,8 м; b = 0,3 м; α = 45°; β = 90°

Рисунок 7.1

Решение:

1. Изображаем вал и  прикрепленный к нему стержень  в соответствии с заданными углами (рис. 7.2).

Веса  стержней 1 и 2 соответственно равны:

, ,    (1)

2. Для определения  искомых реакций рассмотрим движение стержней и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси так, чтобы стержень лежал в плоскости .

3. Изобразим действующие  на систему внешние силы (рис. 5.2): силы тяжести , ,  составляющие ,  реакции подпятника А и реакцию подшипника В.

4. Присоединим к этим  силам силы инерции элементов  стержня и шарика. Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения направленные к оси вращения, а численно где - расстояние элементов от оси вращения. Тогда силы инерции , будут направлены от оси вращения, а численно , где - масса элемента.

Рисунок 7.2

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции  заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции имеет значение , где  m - масса тела, ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

,      (2)

Принимая сосредоточенную на конце стержня 1 массу за точку, модуль ее силы инерции определим по формуле

      ( )

где -  ускорение шарика.

Но центры масс частей стержня, как его элементы, а также ускорение шарика, имеют нормальные ускорения, равные

,

где , - расстояния от центров масс частей стержня и шарика до оси вращения. В результате из равенств (2), (2') и (1) получим:

;  

;    (3)

При этом линии действия равнодействующей и силы инерции на расстояниях и , от оси , где

;

;       (4)

5. Применим принцип  Даламбера для механической системы.

Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим

, ;

, ;          (5)

Подставив сюда значения соответствующих величин из равенств (1), ( ), (3), (4) и решив затем систему уравнений, найдем искомые реакции.

Реакция подпятника А:

Ответ: ;