Переходные процессы в цепях постоянного и переменого тока

 
 
 
 
 
 
 

     Курсовая  работа. 

     Вариант 3А. 
 
 

 

      Содержание

     Задание на курсовую работу ………………………………………………….3

1. Исследование переходного процесса в цепи постоянного тока………...5
1. Исследование переходного процесса классическим методом………….5
2. Исследование переходного процесса операторным методом………….12
3. Сравнение результатов расчета двумя методами……………………….15
4. Построение графика функции заданной величины……………………..16
2. Исследование переходного процесса в цепи переменного тока………..19

Список литературы …………………………………………………………..23

 

      Задание на курсовую работу.

     Используя исходные данные, приведенные в таблице 1, для схемы, изображенной на рис.1, необходимо:

     1.1. Определить классическим методом  переходное значение тока или  напряжения на этапах последовательного  срабатывания коммутаторов К₁ и К₂;

     1.2. Определить операторным методом  переходное значение той же  величины, что и в пункте 1, электрической  величины на первом интервале  (сработал только коммутатор К₁);

     1.3. Сравнить результаты расчетов  по пунктам 1.1 и 1.2 и оценить  погрешность расчетов.

     1.4. Построить график зависимости  найденного в пункте 1.1 значения  тока или напряжения в функции  от времени.

     2. Используя исходные данные, приведенные  в таблице 2, определить, в какой  момент времени ток через обмотку  электромагнита с параметрами  L и R, включаемую на синусоидальное напряжение U_msin(314t+Ψ), достигает максимального значения. Найти при этом его амплитуду и построить кривую этого переходного тока. 

     Таблица 1. Исходные данные к первой части  курсовой работы.

Вариант	Расчетный параметр	E	R1	R2	R3	R4	L1	C
		В	Ом	Ом	Ом	Ом	мГн	мкФ
3-А	iR1	70	4	0,1	2	4	10	5000

 

     Таблица 2. Исходные данные ко второй части курсовой работы.

Вариант	φ	Um	L	R
	градус	B	мГн	Ом
3-А	90	127	400	10

 

 

     

     

     Рисунок 1. Расчетная схема к 1 части курсовой работы.

 

      1. Исследование переходного процесса  в цепи постоянного тока.

     1.1. Рассмотрим докоммутационный режим (0–). Соответствующая схема представлена на рис. 2. 

     

     Рисунок 2. Схема для расчета докоммутационного  режима работы (t<0).

     Определим начальные условия. Значения и в соответствии с законами коммутации определяются из докоммутационной схемы. Поскольку первая ветвь (содержащая источник) в докоммутационной схеме замкнута через R₁, R₂ C, то есть фактически разомкнута (т.к. емкость в цепи постоянного тока имеет бесконечное сопротивление), определим:

     

     Напряжение  на конденсаторе равно напряжению источника напряжения.

     

     Найдем  теперь значения производных этих функций в нулевой момент времени, исходя из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа для момента времени t = 0 .

     

     Учитывая, что  ,

     Получим:

     

      отсюда найдем:

     

     

     

     Принужденная  составляющая является частным решением неоднородной системы и определяет токи при достаточно больших t, когда переходные процессы закончились. Свободные составляющие являются общим решением однородной системы.

     

     Рис. 3. Схема сразу после коммутации t=0+.

     Запишем систему уравнений Кирхгофа для  полученной схемы:

            (1) 

     Произведем  алгебраизацию полученной системы уравнений.

     Полученная  система уравнений имеет решение, отличное от нуля, если ее определитель равен нулю:

             (3)

     Из (3) получим характеристическое уравнение:

        (4)

     Для упрощения нахождения корней характеристического уравнения обозначим:

     

     Определим корни характеристического уравнения:

         (5) 

     Корни характеристического уравнения  комплексные и разные, следовательно переходный процесс носит периодический характер, вид уравнения для свободной составляющей тока на резисторе R₁ будет:

      .         (6)

     Определим принужденную составляющую, исходя из послекоммутационной схемы. В схеме действует источник постоянного напряжения. При постоянных токах сопротивление катушки индуктивности равно нулю, а сопротивление конденсатора бесконечно (разрыв ветви). Таким образом, послекоммутационная схема имеет вид:

     

     Рис. 4. Схема для расчета установившегося режима на первом этапе коммутации.

     Определяем принужденные составляющие i₁ и u_c:

            (7)

            (8)

     Исходя  из начальных условий, составим систему  уравнений для определения постоянных интегрирования:

      ,  (9)

      Отсюда  находим:

      (10)

     А₁ = – 3,5 – 3,81j;  А₂ = – 3,5 +3,81j.     (11)

     Запишем значения коэффициентов А₁ и А₂ в показательной форме:

           (12) 

     Уравнение i₃ будет иметь вид:

        (13)

     Аналогично  составляем систему уравнений для  определения В₁ и В₂:

        (14)

     

     Запишем значения коэффициентов B₁ и B₂ в показательной форме:

           (15)

     Уравнение u_c будет иметь вид:

             (16)

     Ток через емкость найдем аналогичным образом, начальные условия будут иметь следующий вид:

         (17)

     

     Запишем значения коэффициентов C₁ и C₂ в показательной форме:

            (18)

     Находим ток i₂:

             (19)

     Ток в сопротивлении R₁ найдем как сумму i₃ и i₂:

     

     Показатель  затухания колебательного процесса α=616.

     Определим время срабатывания второго ключа:

              (20)

Определим значения тока в катушке и напряжения на конденсаторе в момент коммутации:

       (21)

       (22)

     Найдем  теперь значения производных этих функций  в момент времени t₁, исходя из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа для момента времени t₁ = c.

             (23) 

     

     Рис. 5. Расчетная схема после второй коммутации, момент времени t₁.

     Получим:

              (24)

     Запишем систему уравнений Кирхгофа для  полученной схемы:

              (24)

     Из  этой системы, произведя алгебраизацию, найдем:

        (25)

     Поэтому свободная составляющая тока i₁ будет равна:

     

     Значение  постоянной интегрирования А найдем из начальных условий после второй коммутации:

     

     Отсюда  найдем ток i₁ в сопротивлении R₁:

     

     Отсюда  найдем ток i₁ в момент времени t=t₁₊:

     

     Находим постоянную интегрирования А:

     А = i₁ – i_пр = – 7,85 – 11,67 = -19,52.

     Принужденная  составляющая тока i₁:

     

     Ток через сопротивление R₁ определим как сумму свободной и принужденной составляющих:

             (26) 

     1.2. Определить операторным методом значение i₂ на первом интервале.

     Составим  операторную схему замещения (рис. 6):

     

     Рис. 6. Операторная схема замещения. 

     Составим  по схеме замещения систему уравнений  Кирхгофа:

         (27)

     Перепишем третье уравнение системы (27) в виде:

            (28)

     Из  второго уравнения системы получим:

            (29)

     Подставив (28) и (29) в первое уравнение системы (27), получим:

      . (30)

     Отсюда  получим выражение I₂(p):

       (31) 

     Раскрывая скобки в полученном выражении, учитывая, что изображение приложенного напряжения будет получим:

       

     Группируя подобные слагаемые, получим:

      (33)

     Представив  изображение тока I₂(p) в виде отношения полиномов

       (34)

     Разложим  выражение на сумму:

     

     Найдем корни р₂ и р₃: 

     

             (35)

     Найдем  коэффициенты А₁, А₂, А₃:

     

     

     

     Тогда уравнение тока примет вид:

            (36)