Статистический анализ

 

Рисунок  4 – Графическое изображение ряда распределения рабочих по численности

Рисунок 5 - Графическое изображение ряда распределения по накопленной частоте

    По  формуле 2.5 рассчитываем среднюю арифметическую:

    X=(129+85,5+142+170+49,5+452+254)/30=1282/30=42,7

    Рассчитываем  Моду по формуле 2.1: 

    М_о==53+7*7/11=57,6 

    Рассчитываем  Медиану по формуле 2.2: 

    М_е=39+7*=39+7*(-2,5/8)=41,1

    Рассчитываем  Абсолютные показатели:

1. Размах колебаний по формуле 2.6:

R=65-18=47

2. Среднее линейное отклонение

Строим  дополнительную таблицу с исходными  данными 
 
 
 
 
 

    Таблица 5

    Исходные  данные для расчета показателей 

 

    По  формуле 2.8 рассчитывается среднее отклонение:

    

3. Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле 2.10

    

=15,06 

4. Дисперсию определяется по формуле 2.12:

    Относительные показатели вариации

1. Коэффициент осцилляции определяется по формуле 2.13

2. Относительное линейное отклонение определяется по формуле 2.14

3. Коэффициент вариации определяется по формуле 2.15

    Показатели  формы распределения

1. Относительный показатель ассиметрии определяется по формуле 2.16

является  значительной левосторонней 

2. Показатель эксцесса определяется по формуле 2.17

 

 

Эксцесс является положительным, следует, что  распределение высоковершинное. 
 

    3. СЛОЖЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ИЗУЧАЕМОГО  ПРИЗНАКА 

    Оценить влияние факторов, определяющих колеблемость  вариант признака, можно с помощью  метода группировок, при котором  рассчитывается общая средняя для  всей совокупности, средние по отдельным  группам (частные или групповые) и три показателя дисперсии:

    1. Общая дисперсия характеризует  вариацию признака под влиянием  всех факторов, формирующих уровень  признака у единиц данной совокупности.

    Общая дисперсия определяется по формуле 

                                               (3.1) 

где - общая арифметическая средняя для всей изучаемой совокупности.

    2. Межгрупповая дисперсия отражает  систематическую вариацию, то есть  различия в величине изучаемого  признака, которые возникают под  влиянием фактора, положенного  в основу группировки. 

    Межгрупповую  дисперсию можно определить по формуле 

                                            (3.2) 

где - средняя по отдельной группе; n_i – число единиц в отдельной группе.

    3. Средняя внутригрупповая дисперсия  характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием неучтенных  факторов, и не зависит от признака, положенного в основу группировки. 

    Средняя внутригрупповая дисперсия определяется по формуле 

                                                     (3.3)

где - дисперсия по отдельной группе.

    Указанные дисперсии взаимосвязаны между  собой следующим равенством:

                                                      (3.4)

    Это тождество отражает закон сложения дисперсий, опираясь на который можно  определить, какая часть общей  дисперсии складывается под влиянием признака-фактора, положенного в  основу группировки.  

    Задача  №3 

Имеются данные 10%-ного случайного бесповторного  выборочного обследования рабочих  механического цеха. Определить какая совокупность является более однородной. Определить  дисперсию по тарифному разряду и возрасту.   
 

    Таблица 6

    Данные  выборочного обследования рабочих  цеха

 
 

Считаем дисперсию по возрасту

X=∑x/n

X=498/15=33,2

σ=√((25-33,2)^2+(24-33,2)^2+(43-33,2)^2+(41-33,2)^2+(37-33,2)^2+

+(42-33,2)^2+(29-33,2)^2+(36-33,2)^2+(56-33,2)^2+(29-33,2)^2+(18-33,2)^2+(37-33,2)^2+(25-33,2)^2+(30-33,2)^2+(26-33,2)^2)/15=

√(67,24+84,64+96,04+60,84+14,44+77,44+17,64+7,84+519,84+17,64+231,04+

+14,44+67,24+10,24+51,84)/15=√89,23=9,45

Рассчитываем  дисперсию по тарифному разряду

X=∑x/n

X=61/15=4

σ=√((3-4)^2+(2-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(5-4)^2+(5-4)^2+(5-4)^2+(5-4)^2+

+(6-4)^2+(5-4)^2+(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(3-4)^2)/15=√(1+4+0+1+1+1+

+1+1+4+1+4+1+0+1)/15=√21/15=√1,4=1,18 

    ή_{возраст}=9,45/33,2=0,28 

    ή_разряд=1,18/4=0,3 

    Совокупность  боле однородная по возрасту, так как 0,28 меньше чем 0,3. 
 
 

    4. ЭЛЕМЕНТЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА 

    Дисперсионный анализ является одним из методов  изучения влияния одного или нескольких факторных признаков на результативный признак. В зависимости от количества факторов дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный.

    В основе дисперсионного анализа лежит  расчленение общей вариации изучаемого признака по источникам ее происхождения  на два вида вариации:

    – систематическую вариацию, которая  обусловлена изменением признака-фактора;

    – остаточную (случайную) вариацию, обусловленную  действием прочих, случайных, не связанных  с данным фактором обстоятельств.

    Для разграничения этих вариаций всю  совокупность наблюдавшихся единиц разбивают на группы по факторному признаку и вычисляют средние  результативного признака по группам.

    Групповые средние определяются по формуле 

                                                    (4.1) 

    общая средняя:  

                                                   (4.2) 

где х_i – индивидуальные значения признака в группе; n_i – число единиц, входящих в группу; n – общее число наблюдений.

    Если  сравнение групповых средних показывает определенное различие в их уровне, то необходимо установить, является ли это различие существенным и вызвано ли оно влиянием признака-фактора.

    Для ответа на поставленный вопрос определяют два показателя дисперсии:

    1) показатель  , характеризующий колеблемость групповых средних вокруг общей средней (межгрупповая дисперсия): 

                                                  (4.3) 

где n_i – число единиц в группе; К₁= m-1; m – число групповых средних (число выделенных групп по признаку-фактору); 

    2) показатель  , отражающий остаточную, внутригрупповую дисперсию:

     

                                                  (4.4) 

где К₂ = n-m.

    Полученные  показатели сравнивают, получая фактическое  дисперсионное отношение:  

                                                        (4.5) 
 

    По  таблице F-распределения Р.Фишера (прил. 1) при определенном уровне доверительной вероятности и числе степеней свободы (К₁ и К₂) определяется табличное дисперсионное отношение F_табл.

    Если  F_расч> F_табл, то следует считать, что гипотеза о влиянии признака-фактора не опровергается.  

    Задача  №4  

    По 25 рабочим механического цеха собраны  данные о прохождении этими рабочими технического обучения и проценте выполнения норм выработки.

    Таблица 7

    Данные  о количестве прошедших обучение рабочих