Статистическая обработка данных

Задача  1. Статистическая обработка данных 

1. Определить  долю n случайных измерений, попадающих в интервал от σ_мин до σ_макс. Закон распределения – нормальный. Данные для решения приведены в табл. 1, соотношения между σ и α - в табл. 2.

2. Привести  график нормального распределения  с заштрихованной заданной зоной.

3. Определить  по графику, приведенному на  рис. 1 в методичке, какому значению σ (при симметричном диапазоне ±σ) соответствует доля измерений, равная 0,01(N+40), где N – номер варианта. 

Таблица 1.

Данные  для решения задачи 1. 

 

Таблица 2.

Связь σ  и α (распределение нормальное). 

 

Решение. 1). Для заданных в задаче условий σ_мин = 0,3 и σ_макс = 0,5. Тогда количество n измерений, попадающий в диапазон σ от 0,3 до 0,5 составляет: 

. 

Доля  измерений, попадающих в заданный диапазон, равна 0,31 или 31% (рис. 2). 
 

 
 
 
 
 
 
 

2). Находим  значение α = 0,01·(24+40)=0,64.

По графику (рис. 1), находим значение σ, соответствующее α = 0,64. Оно равно примерно 0,9.

Таким образом, значению α = 0,64 соответствует диапазон σ = ± 0,9. 

Задача 2. Статические характеристики датчиков

Для заданного  в табл. 3 варианта:

1. Рассчитать  и построить статическую характеристику датчика по заданному уравнению при изменении входного параметра Х от 0 до 10 с шагом 0,5.

2. Выявить  и указать линейный (рабочий) участок  характеристики; при выборе рабочего  участка нужно ориентироваться на получение максимальной чувствительности при достаточной длине участка.

3. Вычислить  чувствительность датчика в точке  Хр, соответствующей середине линейного диапазона, графическим методом и разложением функции в ряд Тейлора в окрестностях рабочей точки Хр.

4. Сравнить  получившиеся значения чувствительности.

5. Изобразить (без расчета) примерный график изменения чувcтвительности S датчика в пределах заданного диапазона изменения параметра Х. 

Таблица 3.

Данные  для задачи 2. 

 

Решение. С учетом коэффициентов уравнение приобретает вид: 

, 

Вычисляем значения Y для Х, изменяющегося в диапазоне  от 0 до 10 с шагом 0,5 (табл. 4) и строим график (рис. 3). 
 
 
 
 
 

 
 

Проведем  касательную к кривой, максимально  совпадающую с последней

(рис. 4). Определяем рабочую точку как  середину линейного диапазона  (примерно). В данном случае эта точка соответствует координатам Х = 5 и Y = 1,86.

Из анализа  графика следует 

где S – чувствительность датчика в линейном диапазоне. 

Получим уравнение касательной к рабочей  точке путем разложения заданной функции в ряд Тейлора в  окрестностях точки Х = 2 (рабочей точки) 
 
 

Применительно к заданному уравнению 

имеем: 
 
 
 

      Таким образом, чувствительность датчика  в рабочей точке (и диапазоне) составляет: .

   Сравнивая этот результат с полученным ранее (графическим способом) констатируем хорошее совпадение (-0,56 по методу разложения в ряд и -0,58 – графический способ). Допустимым будем считать отклонение результатов в пределах ± 5%. Приблизительно оценивая расхождения положения кривой и касательной, можно принять длину линейного участка от 0 до 4 единиц измерения.

      Построим  примерный график изменений чувствительности датчика на рисунке 5, во всем заданном диапазоне (от 0 до 10). 

        

 

Задача  3. Расчет датчиков механических величин

и температуры 

1. Привести принципиальную или расчетную схему датчика,

указанного в предложенном варианте задачи, с необходимыми обо-

значениями параметров.

2. Привести краткое описание принципа действия устройства.

3. Решить предложенную задачу 

Вариант 24. Емкостный датчик выполнен в виде плоского конденсатора из двух одинаковых прямоугольных пластин 2х4 см. Внутри конденсатора вдоль длинной стороны пластины может перемещаться вкладка из изолирующего материала с диэлектрической проницаемостью eм = 0,4 пФ/см. Диэлектрическая проницаемость воздуха e =0,0885 пФ/см. Расстояние между пластинами и толщина вкладки составляет 1 мм. Определить емкость датчика, если изолирующая вкладка занимает 1,5 см длины конденсатора. 

 
 
 
 
 
 
 

Емкостным датчиком называют преобразователь параметрического типа, в котором изменение измеряемой величины преобразуется в изменение емкостного сопротивления.

Принцип работы основан на изменении емкости  конденсатора под действием измеряемого  параметра (перемещения). Вкладка, выполненная  из изолирующего материала, перемещается между двумя неподвижными пластинами, при этом емкость между пластинами изменяется в зависимости от положения  вкладки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 4. Построение характеристик  типовых звеньев  систем автоматического  управления (САУ).

1. Получить формулу для расчета АФЧХ в канонической форме , без учета запаздывания t.
2. Рассчитать значения действительной (a) и мнимой (b) частей АФЧХ звена без запаздывания и с запаздыванием для параметров к, Т, t. Принять изменение частоты w в диапазоне от 0 до1 с^-1 с шагом 0,05 (при необходимости использовать промежуточные значения). Результаты расчета свести в таблицу.
3. Построить АФЧХ звена без запаздывания в координатах Re(w); Im(w).
4. Рассчитать и построить по полученным данным АФЧХ звена с запаздыванием в той же координатной сетке, что и для п.3. Сделать вывод о влиянии запаздывания на вид АФЧХ.
5. Преобразовать формулу передаточной функции без запаздывания к виду   и вычислить значения коэффициентов: К, А и D.
6. написать дифференциальное уравнение для полученной передаточной функции.
7. Записать уравнение передаточной функции объекта с учетом запаздывания.

Заданные  параметры: , при k=0,5; Т=19; t=7.

Решение:

1. Производим для передаточной функции преобразования р®iw и получаем выражение для вычисления АФЧХ. Для освобождения от мнимости в знаменателе используем домножение числителя и знаменателя на комплексное сопряжённое число.

 

wwwwwwwww 

wwwwwwwww 

wwwwww 

          Здесь wwwwww

2. Для заданного диапазона частот w (от 0 до 1 с шагом 0,05) вычисляем значения a и b записываем данные в таблицу 2.
3. По полученным данным строим по точкам амплитудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ) звена без запаздывания (рис.6, а). Точки отмечаются в координатных Re(w); Im(w) откладыванием по оси Re(w) значений a, а по оси Im(w) – значений b для соответствующей частоты w с учетом знака. Полученные точки соединяются плавной кривой.
4. Для тех же частот строим АФЧХ звена с учетом запаздывания t, используя формулы:

                         

      Где a и b - значения, полученные из предыдущего расчета (без запаздывания).

      Полученные  точки соединяются плавной кривой. Характеристика должна иметь плавную  форму, без скачков и резких изменений  направления. Результаты расчета приведены  в таблице 2 (рис.6, б).

      Анализ  графиков показывает, что запаздывание сильно влияет на форму амплитудно-фазо-частотной характеристики, причем прежним значениям амплитуды соответствуют значительно большие (по абсолютной величине) фазовые углы, чем больше время запаздывания t, тем на большие углы поворачиваются отдельные векторы АФЧХ для соответствующих частот. Фазовый сдвиг запаздывания линейно увеличивается при увеличении частоты.