Микрополоскове структуры с фотонной запрещенной зоной

Примерно  с 1990 г. метод конечных разностей  стал основным для численного моделирования  многих научных и инженерных проблем, связанных со взаимодействием электромагнитных волн с веществом. Он может быть с  успехом применен для решения  широкого спектра задач: от моделирования  сверхдлинных электромагнитных волн в  геофизике (включая процессы в ионосфере) и микроволн (например, для изучения сигнатурной радиолокации, расчёта характеристик антенн, разработки беспроводных устройств связи, в том числе цифровых) до решения задач в оптическом диапазоне (фотонные кристаллы, наноплазмоника, солитоны и биофотоника). К 2006 г. число публикаций, посвященных FDTD, достигло двух тысяч.

В настоящее  время 27 зарубежных компаний разработали  коммерческие программы, использующие метод конечных разностей. Также  существует 8 свободных проектов с  открытым исходным кодом и 2 бесплатных с закрытым кодом (предназначенных  для некоммерческого использования).

-Принцип  работы метода FDTD.

Рассматривая  уравнения Максвелла, легко заметить, что изменение электрического поля во времени (частная производная) зависит  от изменения магнитного поля в пространстве (а именно, ротора поля). Поэтому, в  каждой точке пространства значение вектора электрического поля в каждый момент времени зависит от его  значения в предыдущий момент времени  и от изменения распределения  вектора напряженности магнитного поля в пространстве.

В то же время, из аналогичных рассуждений  можно заключить, что значение вектора H в каждый момент времени зависит  от его значения в предыдущий и  от изменения распределения вектора E в пространстве. В памяти компьютера хранятся значения векторов E и H в каждой ячейке сетки, которые обновляются  с каждой итерацией процесса по времени.

Поля  в ячейке сетки FDTD. Из таких ячеек  составляется пространственная трёхмерная сетка (сетка Йе), взаимодействие волн с веществом учитывается заданием каждой ячейке значений диэлектрической  и магнитной проницаемости, а  так же проводимости Описанное справедливо  как для одномерного и двумерного случая, так и для трёхмерного. Если задача поставлена в нескольких измерениях, то численный расчёт ротора полей сильно усложняется. Поэтому  для упрощения расчётов в методе FDTD сетки электрического и магнитного поля сдвинуты друг относительно друга так, что магнитное поле считается в точках, расположенных точно между точками, в которых считается электрическое поле, и наоборот. Аналогичная (разделённая) сетка уже давно используется при решении задач гидродинамики (для давления и поля скорости). Эта схема, известная теперь под названием сетки Йе, оказалась очень надежной и в настоящее время составляет основу многих современных реализаций метода.

- Использование метода FDTD.

Для использования  метода необходимо обязательно задать счетную область. Счетная область  это просто та область пространства, в пределах которой выполняется  численное моделирование. В каждой точке счетной области задается её материал, и вычисляются вектора полей E и H. Как правило, материал это вакуум (или воздух), металл или диэлектрик. Указав значения диэлектрической и магнитной проницаемости, а также проводимости можно использовать в моделировании любой материал.

После того, как задана расчётная область и материалы в ячейках сетки, необходимо задать источники. В зависимости от задачи, источником может быть точечным источником, плоской электромагнитной волной, полем витка тока или чем-нибудь еще.

Так как  вектора электрического и магнитного полей непосредственно определяются в ходе моделирования, итоговым результатом, как правило, является серия значений векторов полей в последовательные моменты времени в одной или  нескольких точках расчётной области.

Полученные  в результате моделирования векторы E и H могут быть подвергнуты дополнительной обработке, в том числе, обработка  данных может происходить параллельно с расчётом поля в следующий момент времени.

Так как  по методу FDTD рассчитывается электромагнитное поле в ограниченной пространственной области, слабые и/или излучаемые в  пространство поля могут быть получены с помощью преобразований ближнего поля в дальнее.

- Достоинства алгоритма.

▪ Любая техника численного моделирования имеет свои сильные и слабые стороны, и метод FDTD не исключение.

 ▪ FDTD — это очень разносторонний метод решения уравнений Максвелла, он интуитивно понятен, поэтому пользователи могут легко понять, как он работает и каких результатов ждать от его применения в той или иной задаче.

▪ FDTD работает во временной области, это значит, что за один этап моделирования могут быть получен результат в большом диапазоне частот, например, при использовании широкополосных импульсных источников (например, излучающих гауссовы импульсы). Это может быть очень полезным при решении задач, в которых не известны резонансные частоты или в случае моделирования широкополосных сигналов.

▪ Так как, согласно методу, поля вычисляются последовательно с течением времени, это позволяет создавать анимированные изображения распространения волновых процессов в счетном объеме. Такие изображения могут быть очень полезны для понимания того, что происходит с моделью, и позволяют удостовериться, что модель работает корректно.

▪ Метод позволяет указать материал в каждой точке счетного объема и может быть легко приспособлен для моделирования не только широкого спектра металлов и диэлектриков, но и материалов с нелинейными свойствами.

▪ Метод позволяет непосредственно моделировать эффекты на отверстиях, так же как эффекты экранирования, причем, поля, внутри и вне экрана могут быть рассчитаны как напрямую, так и нет.

▪ Метод FDTD возвращает сразу значения векторов E и H, знание которых необходимо для решения большинства задач на электромагнитную совместимость/электромагнитное взаимодействие, что очень удобно, так как оказывается ненужным промежуточное преобразование результатов моделирования.

- Недостатки метода FDTD.

▪ Весь счетный объем должен быть разбит на ячейки сеткой Йе, и величина шага дискретизации по пространству должна быть достаточно малой по сравнению с наименьшей длиной волны, используемых в конкретной задаче. Кроме того, этой величина определяет детализацию распределения материалов в пространстве. Поэтому может оказаться, что счетный объем должен быть разделен на очень большое число ячеек, что означает большие затраты памяти и большое время моделирования. Поэтому оказывается сложным моделировать задачи, с длинными, тонкими пространственными структурами, например, поля проводников с током.

▪ FDTD рассчитывает поля в каждой точке счётного объёма. Если требуется найти поле на некотором отдалении от источника, это, скорее всего, значит, что счётный объем окажется чрезмерно большим. Существуют расширения метода для нахождения дальних полей, но они требуют постобработки.

▪ Так же это означает, что счётный объем должен быть конечным, чтобы уместиться в памяти компьютера. В большинстве случаев это достигается с помощью задания искусственных граничных условий в счетном объеме. Но их нужно использовать с осторожностью, чтобы свести к минимуму вызываемые ими искажения. В настоящее время известно несколько эффективных граничных условий поглощения для алгоритма FDTD, позволяющих имитировать бесконечную счетную область. Многие современные реализации используют вместо них специальный абсорбирующий «материал», называемый идеально согласованным слоем (PML).

          Численные результаты.

В ходе численного моделирования было исследовано  три типа микрополосковых структур:

1)микрополосковым фильтр, полученный путем периодической модуляции ширины центрального проводника микрополосковых линий;

2) микрополосковый  фильтр, полученный путем вытравливания периодического ряда круглых отверстий в нижней пластине микрополосковых линий;

3)двухсторонняя  структура, полученная объединением 1 и 2 структур.

Исследуемые микрополосковые линии характеризуются  следующими параметрами:

h=1.27мм, =10.2, Tan=0.0026, Z=50 Ом.

С применением  формул (2) и (9),  получены следующие  значения : количество отверстий N=9, радиус отверстий r=5.1 мм, период

Zmax=80 Ом, Zmin=31 Ом. Данные параметры микрополосковых линий соответствуют фотонной запрещенной зоне центрированной на 2.8 ГГц.

На рисунке 4 представлены результаты расчета  спектральных характеристик для  структур 1-3. Как следует из полученных характеристик, для всех  образцов присутствует фотонная запрещенная зона с центром около 2.8 ГГц, что соответствует расчетным значениям. В то же время, ширина и глубина запрещенной зоны зависят от типа исследуемой структуры: 
наиболее узкая ФЗЗ получена для структуры первого типа  ,а самая широкая ФЗЗ с минимальным коэффициентом прохождения получена для структуры третьего типа. Исходя из данных результатов , можно сделать вывод, что в качестве полосовых фильтров , наиболее целесообразно использовать двухсторонние структуры.

 На  рисунке  5 представлены результаты расчета коэффициентов пропускания для двухсторонней структуры (рис 1) с различным положением отверстий ,под центральным проводником ,а именно отверстия располагаются под регионами с равным характеристическим сопротивлением центрального проводника. На рис 5  кривая и точек соответствует случаю, когда отверстия находятся под участком с характеристическим сопротивлением Z=31 Ом, сплошная кривая – Z=50 Ом и пунктирная кривая –Z=80 Ом. Как следует и спектральных характеристик глубина, и ширина запрещенной зоны сильно зависят от месторасположения отверстий . максимальная ширина и глубина ФЗЗ отвечает случаю расположения отверстий под регионом с максимальным  сопротивлением Z=80 Ом.

Полученная  закономерность может быть использована при проектировании перестраиваемых  микрополосковых фильтров на основе двухсторонних микрополосковых  структур с фотонной запрещенной  зоной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                           Выводы.

Таким образом, результаты проведенного численного моделирования свидетельствуют  о возможности широкого применения двухсторонних микрополосковых  структур, с фотонной запрещенной  зоной, в качестве дешевых и простых  в изготовлении частотно-избирательных    фильтров СВЧ диапазона. В зависимости  от области применения, а соответственно и от требований, выдвигаемых к  спектральным характеристикам структуры, могут применяться, как односторонние структуры, так и предложенная двухсторонняя структура.