Зависимость графика кривой разгона от передаточной функции

1. Теоретическая информация

 

Передаточная  функция W(p) объекта управления – это отношение преобразования по Лапласу выхода объекта к преобразованию по Лапласу входа при нулевых начальных условиях. Эта функция является функцией комплексного переменного (ФКП), характеризующей динамику объекта по определенному каналу.

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию   комплексного переменного (изображение) с функцией   вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной  , называется функция   комплексной переменной s = σ + iω^[1], такая что:

Правая часть  этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием  Лапласа функции комплексного переменного  , называется функция   вещественной переменной, такая что:

где   — некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Типовым звеном называется звено направленного  действия, в котором происходит передача сигнала только в одном направлении с входа звена на его выход. Передаточные функции типовых звеньев должны иметь вид простых дробей. Уравнения всех типовых звеньев (кроме звена чистого запаздывания) можно получить из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

.

     Различают следующие звенья: усилительное, интегрирующее, идеальное и реальное дифференцирующие, форсирующие, чистого запаздывания, инерционно-форсирующее, апериодическое первого и второго порядка, колебательное. Все звенья по ряду общих закономерностей можно разделить на три группы:

1. Статические звенья, у которых статическая характеристика отлична от нуля. Эти звенья имеют однозначную связь между входной и выходной переменными в статическом режиме. К ним относят усилительное, апериодическое, колебательные звенья, у которых передаточный коэффициент связан с передаточной функцией соотношением . Кроме того, статические звенья являются фильтрами низкой частоты, исключение составляет усилительное звено.
2. Дифференцирующие звенья, у которых статическая характеристика равна нулю, - это идеальное и реальное дифференцирующие звенья; в их передаточную функцию входит сомножитель поэтому . Дифференцирующие звенья являются фильтрами высокой частоты, они вносят положительные фазовые сдвиги.
3.    Астатические звенья – звенья не имеющие статической характеристики, к ним относится интегрирующее звено, в передаточную функцию которого обязательно входит сомножитель , поэтому . Интегрирующие звенья являются фильтрами  низкой частоты.

 
 

2. Исследование  типовых звеньев и их передаточных функций.

 

Пропорциональное  звено

Передаточная функция:    W(p)=K

Передаточная функция не зависит от переменной p, т.е. пропорциональное звено является статическим. Параметр К называют коэффициентом передачи звена. Пропорциональное звено – статическое, уравнение не содержит производных. Статическая характеристика – прямая линия с углом наклона arctg(K). Возьмем, для примера, k=3. Переходная функция для данного звена с таким параметром k выглядит следующим образом:

 

Теперь зададим  k=2

Переходная функция совершает скачок от 0 до К в момент времени t=0. 

Интегрирующее звено

Передаточная  функция:

Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде: где Т – постоянная времени (в секундах).

Выходная величина пропорциональна интегралу входной величины.

Статический режим невозможен при x_ст 0, т.к. звено непрерывно интегрирует входную величину и выходная величина непрерывно изменяется. Статический режим возможен только при x_ст=0, когда интегрирование прекращается. Таким образом, статическая характеристика совпадает с осью y.

Зададим параметр k=10. Тогда:

Теперь изменим параметр k, установив его значение = 5,45.

 

Значение переходной функции линейно нарастает во времени (теоретически до бесконечности). Скорость нарастания переходной функции равна коэффициенту К. 

Изодромное  звено

Звено описывается уравнением

его можно представить как параллельное соединение интегрирующего и пропорционального (безынерционного) звеньев. 

Зададим параметры: k=2,2 , T=10. Получим:

Изменим теперь параметры следующим образом: k=13, T=5

 
 

Апериодическое  звено I-го порядка

Передаточная функция: 

, где K – статический коэффициент передачи, Т – постоянная времени (измеряется в секундах).

Статическая характеристика – прямая линия с углом наклона arctg(K).

При k=2.5 и T=13:

Изменим теперь k на 1, а T на 35.

Зависимость h(t) – экспоненциальная. 

Апериодическое звено II-го порядка

    Передаточная  функция: ,

    где Т₁ и Т₂ – постоянные времени. Его передаточная функция равна произведению двух передаточных функций апериодических звеньев 1-го порядка.

Зададим соответствующие параметры: k=10, T1=25 и T2=35,24:

Изменим теперь входные параметры: k=1, T1=100, T2=66,55

 

Колебательное звено

    Передаточная  функция:   ,

    где К – статический коэффициент передачи [К=W(0)], Т – постоянная времени (единица измерения – секунды), μ – коэффициент демпфирования (безразмерная величина), находится в пределах 0<μ<1. 

    Свойства  колебательного звена зависят от значения полюсов его передаточной функции, т.е. от корней уравнения:

     .

Зададим параметры  k=3, Tk=5,65, Tg=2,23

Теперь изменим  параметры на k=1, Tk=2,25, Tg=1,15

Колебательный характер переходной функции определяется наличием в ней периодических функций синуса и косинуса. Колебания будут затухать с течением времени, т.к. множитель при этих функциях   уменьшается с увеличением времени и стремится к нулю при (t→∞). 

Реальное дифференцирующее звено

    Переходная функция: Это произведение передаточных функций идеального дифференцирующего звена и апериодического звена. Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточная функция записывается в виде:

    

    где Т₁ – постоянная времени дифференцирующей части, Т₂ – постоянная времени инерционной части.

Установим параметры: k=3, T=0,5

Теперь k=10, T=13,25

В отличие от идеального дифференцирующего звена у реального нет скачка до бесконечности при t=0. Инерционность сглаживает переходный процесс. Начальное значениеh(0) = K/T. Чем меньше Т, тем ближе звено к идеальному. Установившееся значение переходной функции равно нулю (она асимптотически приближается к этому значению). 

Интегро-дифференцирующее звено

Интегро-дифференцирующие звенья представляют собой комбинацию звеньев быстрого и медленного реагирования. Интегро-дифференцирующее звено можно представить как последовательное соединение четырех звеньев: двух форсирующих и двух инерционных.

Зададим параметры: k=5, Tg=3,5, Tu=7,7

Изменим параметры: k=1, Tg=2, Tu=13

 

Звено чистого запаздывания

    Звено чистого запаздывания – это особое линейное звено с трансцендентной передаточной функцией: 

    

, где τ – время запаздывания.

Зададим параметр т=5

А теперь т=1,1

Это единичная ступенчатая функция, запаздывающая на время τ. 

3. Выводы

 

Были исследованы все типовые звенья, описаны их передаточные функции. Были построены соответствующие звеньям графики с различным сочетанием параметров данных функций. Также были сделаны краткие выводы относительно характера переходной функции (кривой разгона).