Программный комплекс SCAD

Высокопроизводительный процессор позволяет решать задачи статики и динамики с большим количеством степеней свободы. Расчет сопровождается подробным протоколом, который может быть проанализирован как по ходу выполнения расчёта, так и после его завершения. Система контроля исходных данных выполняет проверку расчётной схемы и фиксирует все обнаруженные ошибки и предупреждения.

Библиотека конечных элементов содержит различные виды стержневых элементов, включая шарнино-стержневые, рамные, балочного ростверка на упругом основании, позволяет учитывать сдвиг в сечении стержня. Пластинчатые элементы, которые представлены трёх- и четырехузловыми элементами плит, оболочек и балок-стенок, могут содержать дополнительные узлы на ребрах и обеспечивают решение задач для материалов с различными свойствами (с учётом ортотропии, изотропии и анизотропии). Кроме того, библиотека включает различные виды объёмных элементов, а также специальные элементы для моделирования связей конечной жесткости, упругих связей и другие.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной механики. Широко  используется  для  решения  задач  механики  деформируемого  твёрдого  тела,  теплообмена, гидродинамики  и  электромагнитных  полей.  С  точки  зрения  вычислительной  математики,  идея  метода конечных  элементов  заключается  в  том,  что  минимизация  функционала  вариационной  задачи осуществляется  на  совокупности  функций,  каждая  из  которых  определена  на  своей  подобласти,  для численного  анализа  системы  позволяет  рассматривать  его  как  одну  из  конкретных  ветвей  диакоптики — общего  метода  исследования  систем  путём  их  расчленения.  Возникновение  метода  конечных  элементов связано  с  решением  задач  космических  исследований  в 1950-х  годах (идея  МКЭ  была  разработана советскими  учёными  ещё  в 1936  году,  но  из-за  неразвитости  вычислительной  техники  метод  не  получил развития). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как  было  доказано  то,  что  его  можно  рассматривать  как  один  из  вариантов  распространённого  в строительной  механике  метода  Рэлея-Ритца,  который  путём минимизации  потенциальной  энергии сводит задачу  к  системе  линейных  уравнений  равновесия.  После  того,  как  была  установлена  связь  МКЭ  с процедурой  минимизации,  он  стал  применяться  к  задачам,  описываемым  уравнениями  Лапласа  или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль  в  теоретическом  обосновании  МКЭ,  так  как  позволило  применять  его  при  решении  многих  типов дифференциальных  уравнений.  Таким  образом,  метод  конечных  элементов  превратился  в  общий  метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя метод конечных элементов.

Численные методы

Ниже приведены основные численные методы, необходимые для использования МКЭ. Более основательно эти методы рассмотрены в литературе. Здесь же для каждого из них представлены лишь принципы работы.

Основными методами решения систем линейных уравнений вида АХ = В, получаемых при использовании МКЭ, являются следующие:

1) прямые методы:

 факторизация Гаусса: применяется ко всем действительным или комплексным, симметричным или несимметричным несингулярным матрицам;

 факторизация Холоцкого: применяется ко всем действительным симметричным положительно определенным матрицам;

2) итерационные методы:

 сопряженные биградиенты с предобусловленностью: применяются ко всем несингулярным матрицам (действительным или комплексным);

 сопряженные градиенты с предобусловленностью: применяются ко всем действительным симметричным положительно определенным матрицам.

В модифицированном виде данные методы можно использовать для решения нелинейных систем методом Ньютона-Рафсона. Данный метод можно также использовать для улучшения результата, полученного при решении системы линейных алгебраических уравнений.

При использовании МКЭ приходится вычислять определенные интегралы, когда на каждом элементе сети разбиения определяется элементарная матрица интегрированием на каждом элементе функционала, аппроксимируемого с помощью функций формы. Если же элементы криволинейны или задача нелинейна, аналитическое интегрирование становится невозможным и тогда приходится прибегать к численному интегрированию.

Использование МКЭ приводит к вычислению определенных интегралов на отрезках прямых, дуг кривых или в некоторых областях. При интегрировании по области можно использовать интегрирование по каждому ее элементу, тогда для интегралов, упомянутых выше, необходимо использовать эффективные и точные методы численного интегрирования.

Основные методы численного интегрирования:

1.                      метод Гаусса, широко используемый при интегрировании на элементах, но требующий вычисления в определенном числе точек. Этот метод имеет преимущества при вычислении на элементах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую точность;

2.                      метод Ньютона-Котеса: позволяет вычислять интегралы только в точках, определенных пользователем, полезен для интегрирования на поверхностях, для которых расчет гауссовых координат является необходимым и где достаточно равномерного распределения точек.

Применение МКЭ к задачам параболического типа приводит к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае применяют следующие методы:

1.                      метод касательных: довольно простой метод, однако, чтобы получить достаточную точность решения, требуется очень мелкий временной шаг;

2.                      явные методы: проще использовать, однако часто необходимо выбирать очень мелкие временные шаги по причине явления численной неустойчивости. Один из методов - метод Рунге-Кутта;

3.                      неявные методы: более устойчивы и допускают большие временные шаги, однако на каждом временном шаге необходимо увеличивать объем вычислений из-за наличия неявного члена;

4.                      полунеявные методы обеспечивают большую точность по сравнению с неявным методом, однако, как и в случае неявного метода, необходимо значительное число вычислений на каждом шаге. Чаще применяется схема Крэнка-Николсона, обеспечивающая устойчивость и высокую точность:
методы прогноза-коррекции: предназначены для того, чтобы на каждом временном шаге избежать ряда расчетов, характерных для неявного метода. Их принцип заключается в двойной (одновременно неявной и явной) формулировке при выполнении только одной итерации.

Наиболее распространёнными вычислительными системами, основанными на методе конечных элекментов являются:

 ANSYS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

 MSC.Nastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;

 ABAQUS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

 Impact — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

 NEiNastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;

 NXNastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;

 SAMCEF — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором SAMCEF Field.

 Temper-3D — система КЭ анализа для расчёта температурных полей в трёхмерных конструкциях (теплотехнический расчёт).

 COMSOL Multiphysics — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором.

 NX Nastran — универсальная система МКЭ анализа.

Высокопроизводительный процессор ВК SCAD позволяет решать задачи статики и динамики с большим количеством  степеней  свободы.  Библиотека  конечных  элементов  содержит  различные  виды  стержневых, пластинчатых,  объемных  элементов,  набор  трех-  и  четырехузловых  многослойных  и  осесимметричных конечных  элементов,  а  также  специальные  элементы  для  моделирования  связей  конечной  жесткости, упругих связей и др. Это позволяет учитывать сдвиг в сечении стержня, обеспечивает решение задач для материалов с различными свойствами (с учетом ортотропии, изотропии и анизотропии).

Краткая характеристика методики расчета

В основу расчета положен метод конечных элементов с использованием в качестве основных неизвестных перемещений и поворотов узлов расчетной схемы. В связи с этим идеализация конструкции выполнена в форме, приспособленной к использованию этого метода, а именно: система представлена в виде набора тел стандартного  типа (стержней,  пластин,  оболочек  и  т.д.),  называемых  конечными  элементами  и присоединенных к узлам.

Тип  конечного  элемента  определяется  его  геометрической  формой,  правилами,  определяющими зависимость  между  перемещениями  узлов  конечного  элемента  и  узлов  системы,  физическим  законом, определяющим  зависимость  между  внутренними  усилиями  и  внутренними  перемещениями,  и  набором параметров (жесткостей).  На  последующих  стадиях  расчета,  после  определения  армирования железобетонных элементов, в расчет вводиться уточненные значения жесткостей элементов, определяемые с учетом армирования, образования трещин и развития неупругих деформаций в бетоне и арматуре согласно СНиП 52-01-2003 и Свода правил 52-101-2003.

Узел в расчетной схеме метода перемещений представляется в виде абсолютно жесткого тела исчезающе малых  размеров.  Положение  узла  в  пространстве  при  деформациях  системы  определяется  координатами центра и углами поворота трех осей, жестко связанных с узлом. Узел представлен как объект, обладающий шестью степенями свободы - тремя линейными смещениями и тремя углами поворота.  Все узлы и элементы расчетной схемы нумеруются. Номера, присвоенные им, следует трактовать только, как имена, которые позволяют делать необходимые ссылки. Основная  система  метода  перемещений  выбирается  путем  наложения  в  каждом  узле  всех  связей, запрещающих любые узловые перемещения. Условия равенства нулю усилий в этих связях представляют собой разрешающие уравнения равновесия, а смещения указанных связей - основные неизвестные метода перемещений.

В общем случае в  пространственных конструкциях в узле могут присутствовать все шесть перемещений:

1 - линейное перемещение вдоль оси X;

2 - линейное перемещение вдоль оси Y;

3 - линейное перемещение вдоль оси Z;

4 - угол поворота с вектором вдоль оси X (поворот вокруг оси X);

5 - угол поворота с вектором вдоль оси Y (поворот вокруг оси Y);

6 - угол поворота с вектором вдоль оси Z (поворот вокруг оси Z).

Нумерация перемещений в узле (степеней свободы), представленная выше, используется далее всюду без специальных  оговорок,  а  также  используются  соответственно  обозначения X, Y, Z, UX, UY  и UZ  для обозначения величин соответствующих линейных перемещений и углов поворота.

В  соответствии  с  идеологией  метода  конечных  элементов,  истинная  форма  поля  перемещений  внутри элемента (за  исключением  элементов  стержневого  типа)  приближенно  представлена  различными упрощенными  зависимостями.  При  этом  погрешность  в  определении  напряжений  и  деформаций  имеет порядок (h/L)k, где h — максимальный шаг сетки; L — характерный размер области. Скорость уменьшения ошибки  приближенного  результата (скорость  сходимости)  определяется  показателем  степени k,  который имеет разное значение для перемещений и различных компонент внутренних усилий (напряжений).

Расчетная схема

Системы координат

Для задания данных о расчетной схеме могут быть использованы различные системы координат, которые в дальнейшем  преобразуются  в  декартовы.  В  дальнейшем  для  описания  расчетной  схемы  используются следующие декартовы системы координат:

  Глобальная правосторонняя система координат XYZ, связанная с расчетной схемой 

  Локальные правосторонние системы координат, связанные с каждым конечным элементом. 

Граничные условия

Возможные  перемещения  узлов  конечно-элементной  расчетной  схемы  ограничены  внешними  связями, запрещающими некоторые из этих перемещений. 

Условия примыкания элементов к узлам

Точки  примыкания  конечного  элемента  к  узлам (концевые  сечения  элементов)  имеют  одинаковые перемещения с указанными узлами.

Характеристики использованных типов конечных элементов

В расчетную схему включены конечные элементы следующих типов.

Стержневые конечные элементы, для которых предусмотрена работа по обычным правилам сопротивления материалов. Описание их напряженного состояния связано с местной системой координат, у которой ось X1 ориентирована вдоль стержня, а оси Y1 и Z1 — вдоль главных осей инерции поперечного сечения.

Некоторые  стержни  присоединены  к  узлам  через  абсолютно  жесткие  вставки,  с  помощью  которых учитываются  эксцентриситеты  узловых  примыканий.  Тогда  ось X1  ориентирована  вдоль  упругой  части стержня, а оси Y1 и Z1 — вдоль главных осей инерции поперечного сечения упругой части стержня.

К  стержневым  конечным  элементам  рассматриваемой  расчетной  схемы  относятся  следующие  типы элементов:

Элемент  типа 5,  который  работает  по  пространственной  схеме  и  воспринимает  продольную  силу N, изгибающие моменты Мy и Mz, поперечные силы Qz и Qy, а также крутящий момент Mk.

Конечные элементы пространственной задачи теории упругости, для которых, в соответствии с идеологией метода  конечных  элементов,  истинная  форма  перемещений  внутри  элемента  приближенно  представлена различными упрощенными зависимостями.