Программная модель помехоустойчивого кодирования

                                          

Рис. 1.1

    Блочный код, обладающий свойствами линейности и систематичности, называется линейным блочным систематическим (n, k)-кодом.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.2.1 Код с  проверкой на четность

    Самым простым линейным блочным кодом  является (n,n-1)-код, построенный с помощью одной общей проверки на четность. Например, кодовое слово (4,3)-кода можно записать в виде вектора-столбца:

                              = ( m₀, m₁, m₂, m₀+m₁+m₂ ),                                  (1.1) 

    где   m_i  -  символы информационной последовательности, принимающие значения 0 и 1, а суммирование производится по модулю 2 ( mod2 ).

    Поясним основную идею проверки на четность.

    Пусть информационная последовательность источника  имеет вид

                                m  = ( 1 0 1 ).         (1.2)

    Тогда соответствующая ей кодовая последовательность будет выглядеть следующим образом :

                           U = ( U₀, U₁, U₂, U₃ ) = ( 1 0 1 0 ), (1.3)

    где проверочный символ U₃ формируется путем суммирования по mod2 символов информационной последовательности   m :

                             U₃ = m₀ +  m₁ + m₂ .                                                         (1.4)

    Нетрудно  заметить, что если число единиц в последовательности  m четно, то результатом суммирования будет 0, если нечетно — 1, то есть проверочный символ дополняет кодовую последовательность таким образом, чтобы количество единиц в ней было четным. [6]

    При передаче по каналам связи в принятой последовательности  возможно появление  ошибок, то есть символы принятой последовательности могут отличаться от соответствующих  символов переданной кодовой последовательности  (нуль  переходит в единицу, а 1 −  в 0).

    Если  ошибки в символах имеют одинаковую вероятность и независимы, то вероятность  того, что в n-позиционном коде произойдет только одна ошибка, составит

                            P₁ = n× P_ош × (1- P_ош)^n-1                                                                            (1.5)

    (то  есть в одном бите ошибка  есть, а во всех остальных  n - 1  битах ошибки нет).

    Вероятность того, что произойдет две ошибки, определяется уже числом возможных  сочетаний ошибок по две (в двух произвольных битах ошибка есть, а во всех остальных n - 2  битах ошибки нет):

                        P₂ = C_n² × P_ош × (1- P_ош)^n-2  ,                                                                         (1.6)

    и аналогично  для ошибок более  высокой кратности.

    Если  считать, что вероятность ошибки на символ принятой последовательности P_ош достаточно мала (P_ош<<1), а в противном случае передача информации не имеет смысла, то вероятность выпадения ровно l  ошибок составит  P_l @ P_ош^l. 

    Отсюда  видно, что наиболее вероятными являются одиночные ошибки, менее вероятными — двойные, еще меньшую вероятность будут иметь трехкратные ошибки  и т. д.

    Если  при передаче рассматриваемого (4,3)-кода произошла одна ошибка, причем неважно, в какой его позиции, то общее число единиц в принятой последовательности  r уже не будет четным.

    Таким образом, признаком отсутствия ошибки в принятой последовательности может служить четность числа единиц. Поэтому такие коды и называются кодами с проверкой на четность.

    Правда, если в принятой последовательности r  произошло две ошибки, то общее число единиц в ней снова станет четным и ошибка обнаружена не будет. Однако вероятность двойной ошибки значительно меньше вероятности одиночной, поэтому наиболее вероятные одиночные ошибки таким кодом обнаруживаться все же будут. 

    На  основании общей идеи проверки на четность и проверочного уравнения (1.4)  легко организовать схему  кодирования - декодирования для  произвольного кода с простой  проверкой на четность.

    Схема кодирования может выглядеть  следующим образом   (рис. 1.2):  
 
 

      

      

                            
 
 

             
 
 
 
 

Рис. 1.2

    Декодирующее  устройство для кода с проверкой  на четность изображено на  рис. 1.3.

                       
 

    Рис. 1.3 

    Декодер, как это видно из рис. 1.3, проверяет на четность общее число единиц в принятой последовательности и выдает на своем выходе нуль или единицу в зависимости от того, выполнилась проверка или нет.[17]

    Отметим следующий момент. Если посимвольно  сложить два кодовых слова, принадлежащих рассматриваемому (4, 3)-коду:

          a  = ( a₀, a₁, a₂, a₀ + a₁ + a₂ ),  и  b  = ( b₀, b₁, b₂, b₀ + b₁ + b₂ ),            (1.7)

то получим

    с = ( a₀+b₀, a₁+b₁, a₂+b₂, a₀+b₀+a₁+b₁+a₂+b₂) = ( c₀, c₁, c₂, c₀+c₁+c₂ ),        (1.8)

то  есть проверочный символ в новом слове с определяется по тому же правилу, что и в слагаемых. Поэтому с  также является кодовым словом данного кода.

    Этот  пример отражает важное свойство линейных блочных кодов — замкнутость, означающее, что сумма двух кодовых слов данного кода также является кодовым словом.

    Несмотря  на свою простоту и не очень высокую  эффективность, коды с проверкой  на четность широко используются в  системах передачи и хранения информации. Они ценятся за невысокую избыточность:  достаточно добавить к передаваемой последовательности всего один избыточный символ − и можно узнать, есть ли в принятой последовательности ошибка. Правда, определить место этой ошибки и, следовательно, исправить ее, пока нельзя.  Можно лишь повторить передачу слова, в котором была допущена ошибка, и тем самым ее исправить.  
 
 
 

    1.2.2 Порождающая матрица линейного блочного кода 

    Только  что в качестве примера были рассмотрены  два простейших корректирующих кода  - код с простой проверкой на четность, позволяющий обнаруживать однократную ошибку в принятой последовательности, и блочный итеративный код, исправляющий одну ошибку с помощью набора проверок на четность по строкам и столбцам таблицы.  Однако  формальное правило, по которому осуществляется кодирование, то есть преобразование информационной последовательности в кодовое слово, по-настоящему еще не определено.  Так как же задаются блочные коды?[11]

    Простейшим  способом  описания, или задания, корректирующих кодов является табличный способ, при котором каждой информационной последовательности просто назначается кодовое слово из таблицы кода (табл. 1.2)

                       Таблица 1.2

      Такой способ описания кодов, кстати, применим для любых, а  не только линейных кодов. Однако при больших k  размер кодовой таблицы оказывается слишком большим, чтобы им пользоваться на практике (для кода с простой проверкой на четность двухбайтового слова размер таблицы составит  ~ 2⁵ * 2¹⁶  = 2000000 двоичных символов).

Другим  способом задания линейных блочных кодов является использование так называемой системы проверочных уравнений, определяющих правило, по которому символы информационной последовательности преобразуются в кодовые символы. Для того же примера система проверочных уравнений будет выглядеть следующим образом:

U₀ = m₀,

U₁ = m₁,          (1.9)

U₂ = m₂,     

U₃ = m₀  + m₁ + m₂.

Однако  наиболее удобным и наглядным  способом описания линейных блочных  кодов является их задание с использованием порождающей матрицы, являющейся компактной формой представления системы проверочных уравнений: