Контрольная работа по "Программированию и компьютеру"

     преобразим  и приведем к нулю:

х₂ - 0,7х₁ £ 0

7) х₂ £ 0,2(х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅)

преобразим  и приведем к нулю:

     0,2х₁ – 0,8х₂+ 0,2х₃ + 0,2х₄ + 0,2х₅ ≥ 0

8) Поголовье коров в структуре стада КРС должно быть не более 39%

      0,39(х₆ + х₇) ³ х₆

     преобразим  и приведем к нулю:

-0,61х₆  + 0,39х₇ ³ 0

III. Блок ограничений по содержанию животноводства:

9)  коровы

     х₆ = 1,8(х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅) + 0,7х₉ + 0,2х₁₀

     1,8х₁ + 1,8х₂ + 1,8х₃ + 1,8х₄ + 1,8х₅ + 0,7х₉ + 0,2х₁₀ - х₆ = 0

10) молодняк КРС

     х₇ = 1,1(х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅) + 0,3х₉ + 0,1х₁₀

     1,1х₁ + 1,1х₂ + 1,1х₃ + 1,1х₄ + 1,1х₅ + 0,3х₉ + 0,1х₁₀ - х₇ = 0

11) свиньи

      х₈ = 0,6(х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅)

     0,6х₁ + 0,6х₂ + 0,6х₃ + 0,6х₄ + 0,6х₅ - х₈ = 0

IV. Блок ограничений  по производству:

12) Молоко

      30х₆ ³ 2000

      30х₆ ≤ 5000

14) Мясо

      20х₇ + 0,9х₈ ³ 400

Z – Целевая функция:

     Z = 7,2х₁ + 6,3х₂ + 5,6х₃ + 9,2х₄ + 13,3х₅ + 14,5х₆ + 12,1х₇ + 6х₈ → max 

     Матрица

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 4. Решение задачи линейного программирования графическим методом 

      Разработать рацион кормления коров с минимальной  себестоимостью. 

 

     Содержание  картофеля в рационе не должно быть менее 25% его веса.

     Содержание  сена в рационе должно быть не менее 40% питательного рациона. 

     Решение: 

     х₁ – сено

     х₂ – картофель

     Ограничения по потребности

     0,45х₁ + 0,3х₂ ³ 21

     120х₁ + 10х₂ ³ 2400

     30х₁ + 2х₂ ³ 1150

     х₁³ 0, х₂ ³ 0

     Ограничение по составу

     х₂ ³ 0,25(х₁ + х₂) или 0,25х₁ - 0,75х₂ £ 0

     х₁ ³ 0,4(х₁ + х₂) или 0,6х₁ - 0,4х₂ ³ 0

     Целевая функция

     1,2х₁ + х₂ → min

     Наносим на график уравнения ограничения.

     

     После этого определяем область допустимых значений.  

     

     Чертим  вектор с координатами (1,2; 1) и линии уровня, перпендикулярные ему. Видим, что линия уровня пересекает область в точке (1). 

     

 

     Найдем  координаты точки (1). Это точка пересечения  прямых

     0,25х₁ - 0,75х₂ = 0 и 0,45х₁ + 0,3х₂ = 21

     х₂ = 0,25/0,75х₁

     Подставим во второе уравнение.

     0,45х₁ + 0,3*0,25/0,75х₁ = 21

     Откуда х₁ = 38,18 кг

     х₂ = 12,73 кг

     Себестоимость: Z = 1,2*38,18+ 12,37 = 58,19 руб. 
 
 

     Задание 5. Решение задач линейного программирования модифицированным симплексным методом 

     Дана  математическая запись модели:

     7x₁ + 3x₂ – 7x₃ ≥ 6

     4x₁ + x₂ – 8x₃ ≥ -1

     2x₁– 3x₃ ≥ 2

     F(x) = 2x₁ + 5x₂ – 3x₃ → min

     Решить  задачу оптимизации модели модифицированным симплексным методом. 

Решение 

      Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом.

      Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 2x₁+5x₂-3x₃ при следующих условиях ограничений.

 7x₁+3x₂-7x₃≥6

 4x₁+x₂-8x₃≥-1

 2x₁-3x₃≥2

      Для построения первого опорного плана  систему неравенств приведем к системе  уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

 7x₁ + 3x₂-7x₃-1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 6

 4x₁ + 1x₂-8x₃ + 0x₄-1x₅ + 0x₆ = -1

 2x₁ + 0x₂-3x₃ + 0x₄ + 0x₅-1x₆ = 2

      Поскольку задача решается на минимум и элементы единичной матрицы отрицательны, сведем задачу к нахождению максимума. Для этого умножим все строки на (-1) и будем искать первоначальный опорный план.

 -7x₁-3x₂ + 7x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = -6

 -4x₁-1x₂ + 8x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 1

 -2x₁ + 0x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = -2

      Решение состоит из двух этапов. Первый этап - введение искусственного базиса (единичной  матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции.

      Поскольку в начальном плане присутствуют отрицательные значения b_i<0, то с помощью двойственного симплекс-метода устраняем отрицательные значения.

      Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

 X1 = (0,0,0,-6,1,-2)

 x₀ = 0

 x₄ = -7+7x₁+3x₂-7x₃

 x₅ = -4+4x₁+x₂-8x₃

 x₆ = -2+2x₁-3x₃

      Среди свободных членов в системе уравнений  есть отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Выберем из них наибольший по модулю, а в его уравнении – любой отрицательный.

      Чтобы теперь выразить все переменные через  небазисные, в выражении для x₄ выразим x₁ и подставим полученное выражение во все остальные равенства.

 x₀ = -1.71-4.14x₂+x₃-0.2857x₄

 x₁ = 0.8571-0.4286x₂+x₃+0.1429x₄

 x₅ = 4.43-0.7143x₂-4x₃+0.5714x₄

 x₆ = -0.2857-0.8571x₂-x₃+0.2857x₄

      Среди свободных членов в системе уравнений  есть отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Выберем из них наибольший по модулю, а в его уравнении – любой отрицательный.

      Чтобы теперь выразить все переменные через  небазисные, в выражении для x₆ выразим x₄ и подставим полученное выражение во все остальные равенства.

 x₀ = -2-5x₂-x₆

 x₁ = 1-0x₂+1.5x₃+0.5x₆

 x₅ = 5+1x₂-2x₃+2x₆

 x₄ = 1+3x₂+3.5x₃+3.5x₆

      Переходим к первому этапу модифицированного  симплекс-метода.

      Нулевая строка симплексной таблицы неотрицательна. Найдено оптимальное решение X. Поэтому  нет необходимости прибегать  к модифицированному методу.

      Вектор  результатов X = (1, 0, 0)^T

      Значение  целевой функции F(X) = bc = 2

 

Список литературы 

1. Браславец  М.Е., Кравченко Р.Г. Математическое  моделирование экономических процессов  в сельском хозяйстве. – М.: Колос, 1999.

2. Математические методы в экономике и моделирование социально-экономических процессов в АПК / В.А.Кандиус, Л.А.Мочалова, В.А.Кегелев, Г.С.Сидоров. – М.: Колос, 2001.

3. Хазанова  Л.Э. Математическое моделирование  в экономике. Учебное пособие.  – М.: ЮНИТИ, 2000.

4. Экономико-математические  методы и прикладные модели: Учебное пособие для ВУЗов / под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2002.