Учреждение образования  «Белорусский государственный  
педагогический университет имени Максима Танка» 

     Математический  факультет

     Кафедра алгебры и геометрии 

      
 
 

      
КУРСОВАЯ РАБОТА 

     Треугольник Паскаля и его приложения 
 
 

                                    Выполнила

                                    студентка 403 группы Юхно Е. В.

                                    Научный руководитель

                                    доцент Новохрост В.Г. 
 
 
 
 
 

                                                     Минск 2011

                                              Содержание

Содержание 2

Введение 3

1.Треугольник Паскаля 4

2. Свойства треугольника Паскаля 9

3.Числа Фибоначчи 12

4. Биномиальные коэффициенты 13

5. Примеры 15

Список использованных источников 19 
 
 
 

     Введение

     В данной работе будет рассмотрен треугольник  Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.

     ‘’Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике. ‘’

     М. Гарднер

     Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной  из наиболее известных и изящных  числовых схем во всей математике.

     Блез  Паскаль, французский математик  и философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике". Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата.

     Так, в 1529 году треугольник Паскаля был  воспроизведен на титульном листе  учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом. Изображен треугольник и на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

     Треугольник Паскаля - это просто бесконечная  числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым  сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

1.Треугольник  Паскаля

     Рассмотрим  какую-нибудь строчку чисел d₀, d₁, ... ..., d_n, n = 0, 1, 2, ... (при п = 0 эта строчка «вырождается» в строчку, состоящую из единственного числа d₀). Образуем из нее новую строчку чисел s₀, s₁, ..., s_n+1 по следующему правилу:

     s₀ = d₀,  (1.1)

     s_k = d_k-1+ d_k     (1< k< n),    (1.2)

     s_n+1 = d_n  (1.3)

     Про эту новую строчку будем говорить, что она получена из предыдущей по закону Паскаля. Например, из строчки 2, 0, —2 по закону Паскаля получается строчка 2, 2, —2, —2, а из этой, в свою очередь, 2, 4, 0, —4, —2.

     Замечание1. Если строчка β получена из строчки α по закону Паскаля, то сумма членов строчки β равна удвоенной сумме членов строчки α. Действительно, если выполняются соотношения (1.1) — (1.3), то

     s₀ + s₁ + s₂+ _… +s_n + s_n+1= d₀ + (d₀ + d_l) + (d_l + d₂) + ... +(d_n__i + d_n) + d_n= 2(d₀ + d_l + ... +d_n).                                                                                    (1.4)

     Замечание 2. Назовем строчку чисел d₀,…, d_n симметричной, если при любом целом k от 0 до n имеет место равенство

                                           d_k=d_n-k  (1.5)

     Строчка чисел s₀,…, s_n+1, получающаяся по закону Паскаля из симметричной строчки d₀,…, d_n, сама является симметричной. Для обнаружения этого надлежит проверить равенство

                                      s_k=s_(n+1)-k     (1.6)

     при k = 0, 1, ..., n+1. Но при k = 0 и k = п+ 1 равенство (1.6) вытекает из соотношений (1.1), (1.3) и равенства do = d_n (получающегося из (1.5) при k= 0). Если же 1 ≤ k ≤ n, то имеем:

     s=d_n-1+d_k=d_n-(k-1)+d_n-k=d_(n+1)-k+d_[(n+1)-k]-1=d_[(n+1)-k]-1+d_(n+1)-k =s_(n+1)-k   (1.7)

     Рассмотрим  теперь строку, состоящую из одного числа— единицы. Назовем эту строку нулевой строкой Паскаля. Образуем из нее по закону Паскаля новую строку, которую назовем первой строкой Паскаля. Из первой строки Паскаля по закону Паскаля образуем вторую строку Паскаля и т. д. Поскольку при переходе к каждой следующей строке число членов этой строки возрастает на единицу, то в n-й строке Паскаля будет n+1 число. Не производя никаких вычислений, а лишь принимая во внимание замечания 1 и 2, можно утверждать, что:

     1) сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2ⁿ (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 2°= 1);

     2) все строки Паскаля симметричны  (потому что при переходе от  каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична).

     Запишем строки Паскаля, начиная с нулевой, друг под другом, так чтобы каждое число каждой строки оказалось между теми числами предыдущей строки, суммой которых оно является. Мы получим бесконечную таблицу, называемую арифметическим треугольником Паскаля, а также просто арифметическим треугольником, или треугольником Паскаля. Вся таблица в целом как бы заполняет внутренность некоторого угла; любое ее начало, образованное 0-й, 1-й, …, n-й строками, имеет форму равнобедренного треугольника. На рис. 1 приведено начало треугольника Паскаля, образованное первыми его 15 строками от нулевой до четырнадцатой. Вследствие симметрии строк Паскаля, треугольник Паскаля симметричен относительно своей биссектрисы.

     

                                                      Рис. 1

     Члены каждой строки Паскаля обычно нумеруются слева направо, начиная с нулевого. Так, второе место в пятой строке занимает число 10. Число, стоящее на k-м месте в n-й строке, будем обозначать через  
, так что, например, =1, = 10. Выражение  определено, очевидно, при любом n>=0 и k=0,1,…, n.

     В силу своего определения числа  подчинены следующим соотношениям:

      =1,  (1.8)

      = = 1 для   n = 0, 1, 2.....     (1.9)

      = для   n = 0, 1, 2, …; k= 1, 2, …, n.     (1.10)

     Этими соотношениями числа  полностью задаются; пользуясь равенствами (1.8) — (1.10), можно построить сколько угодно строк треугольника Паскаля.

     Выражение можно естественным образом доопределить так, чтобы оно было осмыслено при любом целом неотрицательном n и любом целом k. Для этого положим = 0, если n≥0, a k таково, что для него не выполнено хотя бы одно из двух неравенств: 0 ≤ k и k ≤ n. Таким образом, = 0 для всех пар (n, k), у которых n>=0, k<0, и всех пар (n, k), у которых n>=0, k>n. Теперь соотношение = + будет выполняться для всех k (а не только для k от 1 до п как в (1.10)), и числа будут полностью задаваться следующими равенствами:

      =1,   (1.11)

       при   k ≠ 0,  (1.12)

     =    при всех  n ≥ 0   и всех k   (1.13)

     Треугольник Паскаля при расположении его  членов, рассмотренном выше (как  на рис. 1), естественно называть треугольником Паскаля в равнобедренной форме, или, короче, равнобедренным треугольником Паскаля. Часто бывает удобным расположить члены треугольника несколько иначе, чтобы каждое начало имело форму прямоугольного треугольника. Такую бесконечную таблицу естественно называть треугольником Паскаля в прямоугольной форме, или просто прямоугольным треугольником Паскаля. В прямоугольном треугольнике Паскаля на пересечении n-й горизонтали и k-й вертикали (при том, что счет идет с нулевой горизонтали и нулевой вертикали) стоит число :

     

             

     На  n-й горизонтали здесь располагается n-я строка Паскаля; числа, стоящие на фиксированной вертикали, также достойны изучения. Помимо вертикалей и горизонталей, в прямоугольном треугольнике Паскаля легко прослеживаются диагонали. Различают восходящие диагонали (они выделены в приведенной только что таблице) и нисходящие диагонали. По главной нисходящей диагонали стоят единицы; по каждой из параллельных ей нисходящих диагоналей располагается— в силу симметрии строк Паскаля — та же последовательность чисел, что и по соответствующей вертикали; поэтому рассмотрение бесконечных рядов чисел, расположенных на нисходящих диагоналях, не дает ничего нового. Восходящие диагонали нумеруются, начиная с первой. На каждой из них стоит конечный ряд чисел: на первой диагонали 1; на второй 1; на третьей 1, 1; на четвертой 1, 2; на пятой 1, 3, 1 и т. д. Вообще, на n- ой диагонали стоят числа ,,… ,  (они продолжаются до тех пор, пока k ≤ n- 1- k, т. е. k ≤₎

     Замечание 3. Из двух чисел пятой горизонтали  — 10 и 5 — по закону Паскаля получается число 15 шестой горизонтали. Эти числа 10, 5, 15 расположены соответственно на девятой, десятой и одиннадцатой восходящих диагоналях. Легко видеть, что, вообще, любое число (n+ 2)- ой диагонали, кроме самых крайних единиц, является суммой двух чисел, находящихся на двух предшествующих диагоналях, n- ой и (n+1)- ой; оговорка относительно крайних единиц станет излишней, если мы продолжим n-ю и (n+1)-ю диагонали некоторым количеством нулей (возникающих в силу сделанного выше доопределения выражения ). При этом для различных чисел (n + 2)- ой диагонали образующие их пары чисел двух предыдущих диагоналей не имеют между собой общих членов, и все такие пары путем суммирования их членов участвуют в образовании чисел (n + 2)- ой диагонали. Поэтому сумма чисел (n + 2)-ой диагонали равна сумме чисел n- ой диагонали, сложенной с суммой чисел (n + 1)-ой диагонали.

     2. Свойства треугольника  Паскаля

     Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес.