Стереометрия как мы её видим

           Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую:

Sбок = П (r + r1) l.

Сечение конуса

1.      Секущая плоскость проходит через ось конуса (осевое сечение – равнобедренный треугольник

      рис. 1)

2.      Секущая плоскость проходит                   перпендикулярно к оси конуса

круг с центром О1  (рис. 2)

3.Сечение проходящее через верщину конуса –

равнобедренный  треугольник  (рис. 3)

4.Параболическое и гиперболическое сечения. (рис. 4 )

В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанно в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Rш = Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк +L

Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описаной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса.

Rш = Rк / sinb ;   R²ш= (H-Rш) ² + Rк²

Rш =L/2H ;       (2Rш  - Hк)Hк = Rк²

Дополнительная информация о конусе

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
 

3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
 

4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности (рис. 6). Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает (рис. 7). Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Цилиндр

Цилиндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

  Свойства:

1. Основания равны и параллельны (из опр.).

2. Образующие равны и параллельны(из свойств параллель­ного переноса, по свойству параллельных плоскостей).

  Цилиндр называется прямым, если образующие перпенди­кулярны основанию.

   В прямом цилиндре :  ось=высота=образующая.

Сечения цилиндра

Осевое сечение                

    Боковая поверхность цилиндра:

  L-длина круга       L=2ПR                 Sбоковой поверхности=Lh

  h-высота                                         

                           след.    Sб.п.=2ПRh

   Площадь полной поверхности цилиндра - это сумма пло­щадей боковой поверхности двух оснований(S=ПR*R).

Sп.п.=2ПR(R+h).

Вписанный и описанный цилиндр:

  Призма называется вписанной в цилиндр, если основание её равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые рёбра являются образующими цилиндра.

  Призма называется описанной около цилиндра, если осно­вание её - это многоугольники описанные около основания  цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Цилиндры фараона

ЦИЛИНДРЫ ФАРАОНА - два загадочных предмета цилиндрической формы в руках некоторых древнеегипетских изваяний. Среди специалистов – египтологов не существует единого мнения о происхождении данных предметов.

В 1976 году в Закавказье Р.Добровольским и В.Ковтуном была обнаружена старинная эзотерическая рукопись под названием “Тайны Жизни и Смерти”, в которой содержалась информация о Лунном и Солнечном цилиндрах, изготовленных из цинка и меди с определенным внутренним наполнением. По утверждению неизвестного автора Цилиндры Фараона использовались фараонами и жрецами Древнего Египта для укрепления жизненных сил и общения с богами.

Цилиндры Фараона были воссозданы согласно древнему рецепту и затем в течение многих лет исследовались физиком Владимиром Ковтуном. В этих исследованиях принимали участие медики, физики, египтологи, экстрасенсы и парапсихологи. Результаты исследований поразили ученых. Оказалось, что Цилиндры Фараона обладают широчайшим спектром благотворного воздействия на организм человека.

В него входят: помощь при сердечно-сосудистых заболеваниях, нейротрофических, гипертонии, болезнях выводящих путей, астме, бессоннице, головных болях а также в качестве средства для снятия стрессов и профилактике атеросклероза. Одна из удивительных особенностей Цилиндров Фараона - улучшение работы практически всех основных систем организма (показатели работы этих систем улучшаются в среднем в 2 - 2.5 раза)

По мнению экстрасенсов Цилиндры Фараона создают вокруг тела человека защитное энергополе, непроницаемое для отрицательной информации (например - сглаза).

Согласно мнению ряда врачей Цилиндры Фараона представляют собой уникальный, самонастраивающийся на каждого человека, физиотерапевтический прибор, созданный гением древнеегипетских ученых. Их целебные свойства, включающие в себя металлотерапию, гальванотерапию и магнитотерапию позволили врачу - биоэнергетику Т.Мешковой разработать эффективную методику использования Цилиндров. Цилиндры Фараона полезны как взрослым людям так и детям. Они создают в организме человека обстановку, при которой ему гораздо легче справляться со своими бедами. Цилиндры - прекраснее профилактическое средство против ряда болезней. Согласно результатам экспериментов врача Т.Мешковой Цилиндры Фараона защищают от воздействия излучений различной электронной техники: компьютеров, телевизоров, микроволновых печей и т.д.

О Цилиндрах Фараона Российским телевидением снят 4-х часовой документальный фильм “Египет. Испытание тайной”. Их исследователем, В.Ковтуном, написана научно-популярная книга “Тайна Цилиндров Фараона”. Братислава. “Ариадна”. 1999 г.

Цилиндры Фараона запатентованы. Торговые марки “Цилиндры Фараона” и “Cylinders of the Pharaohs” зарегистрированы в 20 странах мира на имя исследователя В.Ковтуна.

Пирамида в геометрии

Пирамида -  (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

              Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

SABCD – четырёхугольная пирамида;

ABCD – основание пирамиды;

SAB; SBC; SDC; SDA – боковые грани пирамиды;

S – вершина пирамиды;

SA; SB; SC; SD – боковые рёбра пирамиды

SO – Высота пирамиды

Пирамида правильная – пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость основания, является отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамиды:

1.           Всё боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой.

2.           Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

3.           Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.  

– периметр основания,

- апофема.

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Пирамидой, вписанной в конус, является та­кая пирамида, основание которой есть много­угольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра такой пирамиды являются обра­зующими конуса.

SABCD – пирамида, вписанная в конус.

Пирамидой, описанной около конуса, явля­ется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной кону­са. Плоскости боковых граней такой пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

SKMNP – пирамида, описанная около конуса.

Усеченная пирамида

         Пирамида усечённая - пирамида, кото­рая получается следующим способом: берется произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная ос­нованию пирамиды. Данная плоскость раздели­ла пирамиду на две фигуры: подобную исход­ной пирамиду и многогранник, который назы­вается усеченной пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды служат подобные много­угольники.

Если усеченная пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется пра­вильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются рав­ными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правиль­ной усеченной пирамиды. Перпендикуляр, опу­щенный из точки верхнего основания на ниж­нее, называется высотой усеченной пирами­ды.

Площадь полной поверхности усеченной пи­рамиды равна сумме площадей оснований и бо­ковых граней.

ABCDA1B1C1D1 – усечённая правильная пирамида,

O1O – высота,

B1E – апофема усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

– высота усеченной пирамиды,

и - площади оснований усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

и- периметры оснований усечённой правильной пирамиды,

- апофема.

Теоремы

1.      Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство:

Боковые грани правильной пирамиды – равные    равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр.

2.      Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.