Развитие геометрии

        Переворот в геометрии, произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван "Коперником геометрии". В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие геометрии. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова Г., но и другие "геометрии". Второй принцип - это принцип самого построения новых геометрических теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой геометрии. Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой геометрии. Современная физика подтвердила это. Однако от этого не теряется математическая точность евклидовой геометрии, т.к. она определяется логической состоятельностью (непротиворечивостью) этой геометрии. Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно различать их физическую и математическую истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая - в логической непротиворечивости. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли важную роль не только в геометрии, но и в математике вообще, в развитии её аксиоматического метода, в понимании её отношения к действительности.

      Главная особенность нового периода в  истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий - новых "геометрий" и в соответствующем обобщении предмета геометрии; возникает понятие о разного рода "пространствах" (термин "пространство" имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой - абстрактное "математическое пространство"). При этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная геометрия и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной геометрии. Др. теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой геометрии. Так, создавалась, например, многомерная геометрия; первые относящиеся к ней работы (Г. Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической Г. с трёх координат на n. Некоторый итог развития всех этих новых "геометрий" подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.

      Принципиальный  шаг был сделан Б. Риманом (лекция 1854, опубликована 1867). Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений. Во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область геометрии, т. н. риманова геометрия и её обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, в механике и др.

      В тот же период зародилась топология  как учение о тех свойствах  фигур, которые зависят лишь от взаимного  прикосновения их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология развилась в самостоятельную дисциплину. Так геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т.д.) и фигуры в этих пространствах. Одновременно с развитием новых геометрических теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой - элементарной, аналитической и дифференциальной геометрией. Вместе с тем в евклидовой появились новые направления. Предмет геометрия расширился и в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось само понятие о фигуре. На стыке анализа и геометрия возникла в 70-х гг. 19 в. Общая теория точечных множеств, которая, однако, уже не причисляется к геометрии, а составляет особую дисциплину. Фигура стала определяться в геометрии как множество точек. Развитие геометрии было тесно связано с глубоким анализом тех свойств пространства, которые лежат в основе евклидовой геометрии. Эта работа привела в конце 19 в. (Д. Гильберт и др.) к точной формулировке аксиом евклидовой геометрии, а также других "геометрий".

      Для  современной геометрии характерно ещё большее, чем прежде, проникновение  её идей и методов в другие области  математики и обратно, так что  точное выделение геометрии из всей математики оказывается, по существу, невозможным.

      Существенно изменилось также отношение геометрии к изучению материальной действительности: если раньше геометрия была лишь теорией пространственных отношений и форм, основанной на положениях, формулированных у Евклида, то теперь она стала также наукой о формах и отношениях действительности, сходных с пространственными.

      Область её применения к исследованию природы  чрезвычайно расширилась. Но при  всём разнообразии приложений и абстрактности  теорий современной геометрии  все  они имеют общий источник в  изучении конкретных пространственных форм и отношений, которое было впервые суммировано в элементарной евклидовой геометрии и из которого, в конечном счёте, исходят все понятия геометрии.

      Это  единство источника  позволяет дать  определение геометрии  как той  части математики, которая развилась из изучения пространственных форм и отношений. 
 
 
 
 
 
 
 

      Заключение 

      Подводя итог нашего исследования можно сказать, что самые первые понятия в геометрии люди приобрели еще в глубокой древности. Возникала необходимость определять площади участков земли, объемы различных сосудов и помещений и другие практические потребности. Свое начало история развития геометрии, как науки, берет в Древнем Египте около 4 тысяч лет назад. Затем знания египтян позаимствовали древние греки, которые применяли их преимущественно для того, чтобы измерять площади земельных участков.  Именно с Древней Греции берет свое начало история возникновения геометрии, как науки. Древнегреческое слово «геометрия» переводится, как «землемерие».

      Греческие ученые  на основе открытия множества геометрических свойств смогли создать стройную систему знаний по геометрии. В основу геометрической науки были положены простейшие геометрические свойства, взятые из опыта. Остальные положения науки выводились из простейших геометрических свойств с помощью рассуждений. Вся эта система была опубликована в завершенном виде в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры, где он изложил не только теоретическую геометрию, но и основы теоретической арифметики. С этого источника также начинается и история развития математики.

      Однако  в труде Евклида ничего не сказано  ни об измерении объема, ни о поверхности  шара, ни об отношении длины круга  к его диаметру (хотя присутствует теорема о площади круга). История  развития геометрии получила продолжение в середине III века до нашей эры благодаря великому Архимеду, который смог вычислит число Пи, а также смог определить способы вычисления поверхности шара. Архимед для решения упомянутых задач применил методы, которые в дальнейшем легли в основу методов высшей математики. С их помощью он уже мог решать трудные практические задачи геометрии и механики, которые были важны для мореплавания и для строительного дела. В частности, он нашел способы определять центры тяжести и объемы многих физических тел и смог изучить вопросы равновесия тел различной формы при погружении в жидкость.

      Древнегреческие ученые провели исследования свойств  различных геометрических линий, важных для теории науки и практических применений. Апполоний применил метод  координат для изучения конических сечений. Этот метод в дальнейшем смогли развить только в XVII веке ученые Ферма и Декарт. Но они применяли этот метод только для изучения плоских линий.

      Система, разработанная Евклидом, считалась  непреложной более двух тысяч  лет. Однако в дальнейшем история развития геометрии получила неожиданный поворот, когда в 1826 году гениальный русский математик Н.И. Лобачевский смог создать совершенно новую геометрическую систему. Фактически основные положения его системы отличаются от положений геометрии Евклида только в одном пункте, но именно из этого пункта вытекают основные особенности системы Лобачевского. Это положение о том, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше 180 градусов. На первый взгляд может показаться, что это утверждение неверно, однако при маленьких размерах треугольников современные средства измерения не дают правильно измерить сумму его углов.

      Дальнейшая  история развития геометрии доказала правильность гениальных идей Лобачевского и показала, что система Евклида просто неспособна решить многие вопросы астрономии и физики, где математики имеют дело с фигурами практически бесконечных размеров. Именно с трудами Лобачевского уже связано дальнейшее развитие геометрии.  
 
 
 
 
 
 

      Список  литературы

1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 2005.
2. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. – М.: Просвещение, 2009.
3. Демьянов В.П. Геометрия и Марсельеза. - М.: «Знание», 2006.
4. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. - М.: Московский университет, 2003.
5. Математика XIX века. - М.: Наука, 2001.
6. Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. М.: «Знание», 2001.
7. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: 2009.
8. Свечников А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать. - М.: Просвещение, 2005.
9. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. – М.: педагогика, 2002.
10. Юшкевич А.П. История математики в России. - М.: Наука, 2008.