Правильные многогранники

Правильные  многогранники

Правильный многогранник или Платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Список правильных многогранников

Существует всего пять правильных многогранников:

Изображение	Правильный многогранник	Число сторон у  грани	Число рёбер, примыкающих  к вершине	Число вершин	Число рёбер	Число граней	Тип пространственной симметрии
	Тетраэдр	3	3	4	6	4	Th
	Октаэдр	3	4	6	12	8	Oh
	Икосаэдр	3	5	12	30	20	Ih
	Гексаэдр или куб	4	3	8	12	6	Oh
	Додекаэдр	5	3	20	30	12	Ih

Название каждого многогранника  происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Комбинаторные свойства

• Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

В + Г = Р + 2.

• Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
• Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

p — число сторон каждой грани;

q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

 

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей  таблице:

 

Многогранник		Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
куб		8	12	6	{4, 3}
октаэдр		6	12	8	{3, 4}
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}

• Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

Из этих соотношений и  формулы Эйлера можно получить следующие  выражения для В, Р и Г:

 

Геометрические  свойства

Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

где   принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине  многогранника – это разность между 2π и суммой углов между  рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект   при любой вершине правильного многогранника:

По теореме Декарта, он равен   делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен  ).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

Телесный угол, стягиваемый  гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (  стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей  таблице. Числовые значения телесных углов  даны в стерадианах. Константа   –золотое сечение.

Многогранник	Двугранный угол  θ		Плоский угол между рёбрами  при вершине	Угловой дефект (δ)	Телесный угол при вершине (Ω)		Телесный угол, стягиваемый  гранью
тетраэдр	70.53°		60°
куб	90°	1	90°
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°
додекаэдр	116.57°		108°
икосаэдр	138.19°		60°, 108°

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические  сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
• Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной ( ) и вписанной ( ) сфер задаются формулами:

где θ - двугранный угол между  смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h - величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра  a в таблице приравнены к 2.

 

 

 

Многогранник  (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр
куб
октаэдр
додекаэдр
икосаэдр

 

 

Константы φ и ξ задаются выражениями

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

 

История

Правильные многогранники  известны с древнейших времён. Их орнаментные  модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, вШотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытияПифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники  характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей(360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида^[1]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.