Линии второго порядка и другие замечательные кривые

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра: «Алгебры и математической логики»

 

 

 

 

 

 

       Курсовая работа по аналитической геометрии на тему:

«Линии второго порядка  и другие замечательные кривые»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тюмень, 2012

 

Оглавление

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Постановка  задачи:

1. Узнать исторические сведения о линиях второго порядка
2. Привести к каноническому виду
3. Узнать о свойствах эллипса, гиперболы и параболы
4. Решить пример с применением линий второго порядка
5. Рассмотреть свойства лемнискаты, циклоиды, кардиоиды

 

1.ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

 

 

Изучение кривых велось математиками  с глубокой древности. Целый ряд  замечательных кривых с исчерпывающей полнотой был изучен ещё греками. Наиболее замечательными из всех кривых, с которыми приходится встречаться при изучении разнообразных явлений в области техники, физики и естествознания являются, без сомнения, кривые второго порядка – окружность, эллипс, парабола и гипербола. Они графически выражают целый ряд необычайно важных физических законов, они непосредственно осуществляются во многих явлениях природы (движение планет по эллипсам, траектория брошенного тела в форме параболы и т.д.) наконец, кривые эти обладают весьма ценными геометрическими свойствами, позволяющими использовать их в целом ряде конструкций и механизмов.

Эллипс, гипербола и парабола были открыты древними греками и достаточно подробно изучены ими, как конические сечения. Среди греческих математиков, занимавшихся коническими сечениями, необходимо отметить, прежде всего, Менехма (3в. до н.э). Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур. Греки назвали их «триадами Менехма».

Законченную форму теории конических сечений дал Апполоний Пергский (2 половина 3 века до н.э.) в своём труде, состоящем из 8 книг. Ему же предписывается введение самих терминов: эллипс, гипербола, парабола.

 

 

2.КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

 

 

 

Классификация кривых второго порядка

 

Вырожденные кривые:

1. — эллипс: 

 

 

2. — мнимый эллипс:

 

3. — гипербола;

 

 

4.   — парабола;

 

 

 

Невырожденные кривые:

 

5. — две пересекающиеся прямые:

 

 

 

6. — две мнимые пересекающиеся прямые:

 

 

 

 

7. — две параллельные прямые:

 

 

 

 

8. — две мнимые параллельные прямые:

 

 

 

9. — две совпадающие прямые:

 

 

 

 

В этих уравнениях a, b, p — положительные параметры.

 

Теорема о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду и её доказательство

 

Рассмотрим задачу приведения уравнения линии второго порядка  к наиболее простому (каноническому) виду.

Алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида: , где   - многочлен второй степени двух переменных .

Требуется найти прямоугольную  систему координат, в которой  уравнение линии приняло бы наиболее простой вид. Результатом решения является следующая основная теорема:

Теорема 1. Для любой алгебраической линии второго порядка существует прямоугольная система координат  , в которой уравнение этой линии принимает один из вышеперечисленных девяти канонических видов.

Доказательство: Пусть в прямоугольной системе координат   алгебраическая линия второго порядка задана уравнением:

(2.1)

в котором хотя бы один из старших коэффициентов отличен от нуля, т.е. левая часть (2.1) — многочлен двух переменных x,y второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных x и y, а также при их произведении взяты удвоенными, просто для удобства дальнейших преобразований.

Для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду используются следующие преобразования прямоугольных координат:

– поворот на угол: 

(2.2)

 

– параллельный перенос:

(2.3)

 

– изменение направлений  координатных осей (отражения в координатных осях):

оси ординат  оси абсцисс обеих осей

(2.4)

 

 

 

 

 

– переименование координатных осей (отражение в прямой y=x):

(2.5)

 

где и  - координаты произвольной точки в старой и новой системах координат соответственно. Кроме преобразования координат, обе части уравнения можно умножать на отличное от нуля число.

Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (2.1) имеет вид:

Эти уравнения (также  многочлены в левых частях) называются приведенными. Покажем, что приведенные уравнения (I), (II), (III) сводятся к каноническим (1)–(9).

 

Приведение к каноническому  виду

 

Уравнение (I). Если в уравнении (I) свободный член равен нулю , то, разделив обе части уравнения на старший коэффициент  , получим  - уравнение двух совпадающих прямых (9), содержащих ось абсцисс . Если же свободный член отличен от нуля ≠0, то разделим обе части уравнения (I) на старший коэффициент ( ): . Если величина отрицательная, то, обозначив ее через - , где , получаем  - уравнение пары параллельных прямых (7):    или . Если же величина положительная, то, обозначив ее через , где , получаем  - уравнение пары мнимых параллельных прямых (8). Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечающих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение   имеет два сопряженных решения  , которые иллюстрируются штриховыми линиями.

Уравнение (II). Разделим уравнение  на старший коэффициент  и перенесем линейный член в правую часть: . Если величина отрицательная, то, обозначая , получаем - уравнение параболы (4). Если величина положительная, то, изменяя направление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (2.4), получаем уравнение или , где . Это уравнение параболы в новой системе координат .

Уравнение (III). Возможны два случая: либо старшие коэффициенты одного знака (эллиптический случай), либо противоположных знаков (гиперболический случай).

В эллиптическом случае ( ) при переносим свободный член в правую часть и делим обе части на :

(III)

Если знак старших коэффициентов  противоположен знаку , то, обозначая положительные величины и через получаем - уравнение эллипса (1).

Если знак старших  коэффициентов  совпадает со знаком , то, обозначая положительные величины и через получаем:

- уравнение мнимого эллипса (2).

Это уравнение не имеет  действительных решений. Однако оно  имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются штриховой линией. Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству , в противном случае этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преобразование (2.5) системы координат.

Если свободный член уравнения (III) равен нулю , то, обозначая положительные величины , получаем - уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (6). Этому уравнению удовлетворяет только точка с координатами - начало координат. Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложить на множители , поэтому уравнение имеет сопряженные решения , которые иллюстрируются штриховыми линиями, пересекающимися в начале координат.

В гиперболическом случае при переносим свободный член в правую часть и делим обе части на :

(III)

Величины  и имеют противоположные знаки. Без ограничения общности считаем, что знак совпадает со знаком свободного члена , т.е. . В противном случае, нужно переименовать координатные оси, т.е. сделать преобразование (2.5) системы координат. Обозначая положительные величины и , получаем - уравнение гиперболы (3).

Пусть в уравнении (III) свободный член равен нулю . Тогда можно считать, что (в противном случае обе части уравнения умножим на –1). Обозначая положительные величины и через получаем - уравнение пары пересекающихся прямых(5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения:

, то есть 

Таким образом, приведенные уравнения (I),(II),(III) алгебраической линии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1)–(9), перечисленных в теореме 1.

 

 

3.СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

 

Эллипс

 

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Рисунок 3.1

 

Свойства:

1. Эллипс имеет две  взаимно перпендикулярные оси  симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса).

2. Весь эллипс содержится  внутри прямоугольника 

3. Эллипс может быть  получен посредством равномерного  сжатия окружности.

 

Эксцентриситетом эллипса называется величина e, равная отношению:

  , где c определяется из соотношения .

 

 

Рисунок 3.2

 

Эксцентриситет эллипса  можно рассматривать как меру его "вытянутости".

 

Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в полуплоскости (i = 1,2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии a/e от его центра.

Рисунок 3.3

 

уравнение директрисы D₁:                                 уравнение директрисы D₂:                                                         

                                                                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гипербола

 

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Свойства:

1. Гипербола имеет  две оси симметрии (главные  оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы.

2. Асимптоты гиперболы: .

3. Если гипербола имеет  вид то сопряженная по отношению к ней гипербола .

Рисунок 3.4

Эксцентриситетом гиперболы называется величина e, равная отношению c/a. При c²=a²+b², .

Эксцентриситет гиперболы больше единицы. Две гиперболы, имеющие одинаковый эксцентриситет, подобны. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами (отношение b/a равно тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы).

 

Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в полуплоскости (i = 1,2) перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии a/e от её центра.

 

уравнение директрисы D₁:                                 уравнение директрисы D₂:                                                         

                                                                                                          

 

Парабола

 

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. Указанная в определении точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая - директрисой параболы.

 

Свойства:

1. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы.

2. Так как  , вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости xOy.

3. Директриса параболы: .

4. Кривая y²=2px при также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости xOy.

 

Рисунок 3.5

 

4.ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

 

 

 

                Рассмотрим задачу поиска минимума функции двух переменных.