Действительные числа

       Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.    

Если a и b - действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются и

a + b и ab (замкнутость),     (1)

a + b = b + a, ab = ba (коммутативность),     (2)

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c, a(bc) = (ab)c = abc (ассоциативность),     (3)

a * 1 = a (единица),     (4)

a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность),     (5)

;из a + c = b + c следует a = b, из ca = cb, 

     Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами a + 0 = a, a * 0 = 0 для каждого действительного числа a.

      (Единственное) противоположное число -a и (единственное) обратное число a ^-1 = 1/a для действительного числа a определяются соответственно так:                           a + (-a) = a - a = 0, aa ^-1 = 1 ( ).     

        Помимо "алгебраических" свойств, класс положительных целых, или натуральных, чисел 1, 2, ... обладает свойством упорядоченности (n > m, если n = m + x, где x - некоторое натуральное число) и полной упорядоченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент). Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов n следующий за ним элемент n + 1, содержит все натуральные числа (принцип полной индукции).    

      Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) для каждого натурального числа N существует единственное следующее за ним натуральное число S(n); 3)  ; 4) из S(n) = S(m) следует n = m и 5) имеет место принцип полной индукции. (При его формулировке элемент, следующий за n, обозначается через S(n).) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам (1)-(6), определяются "рекуррентными" соотношениями

n + 1 = S(n), 
n + S(m) = S(n + m), 
n*1 = n, 
n*S(m) = n*m + n.      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Целыми числами называются числа вида n, -n и 0, где n - натуральное число, а рациональными - числа вида p/q, где p и q - целые числа и  .     

Действительные  числа можно ввести, исходя из множества  рациональных чисел, с помощью предельного  процесса. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, а действительными трансцендентными числами - остальные действительные числа.     

Класс всех рациональных чисел содержит корни всех линейных уравнений с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые  числа. Класс всех действительных алгебраических чисел содержит действительные корни  всех алгебраических уравнений с  алгебраическими коэффициентами и включает в себя все рациональные числа.      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Отношение равенства. Из a = b следует b = a (симметрия отношения равенства), a + c = b + c и ac = bc (вообще f(a) = f(b), если f(a) обозначает некоторую операцию, приводящую к единственному результату). Из a = b и b = c следует a = c (транзитивность отношения равенства). Из   следует   и  .      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Отношение тождества. Вообще говоря, уравнение относительно какой-либо величины x или нескольких величин x₁, x₂, ... будет удовлетворяться только при некоторых специальных значениях x или специальных множествах значений x₁, x₂, ... Если хотят подчеркнуть тот факт, что какое-нибудь уравнение удовлетворяется при всех значениях x или x₁, x₂, ... в известных представляющих интерес пределах, то вместо символа = иногда пользуются символом тождества   (пример: (x - 1)(x + 1)   x² - 1), а пределы изменения рассматриваемых переменных иногда указывают справа от уравнения. Символ a   b употребляется также в смысле: "a по определению равно b".      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Неравенства. Действительное число a может быть положительно (a > 0), отрицательно (a < 0) или равно нулю (a = 0). Сумма и произведение положительных чисел положительны.     

Действительное  число a больше действительного числа b (a > b, b < a), если a = b + x, где x - некоторое действительное положительное число. Из a > b следует a + c > b + c, ac > bc, если c > 0, и ac < bc, если c < 0 (в частности, -a < -b), 1/a < 1/b, если ab > 0 и 1/a > 1/b, если ab < 0.     

Из   и   следует  . Из   и   следует  .