Действительные числа

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 04 Ноября 2011 в 19:20, реферат

Описание

Помимо "алгебраических" свойств, класс положительных целых, или натуральных, чисел 1, 2, ... обладает свойством упорядоченности (n > m, если n = m + x, где x - некоторое натуральное число) и полной упорядоченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент). Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов n следующий за ним элемент n + 1, содержит все натуральные числа (принцип полной индукции).

Работа состоит из  1 файл

РЕФЕРАТ.doc

— 69.00 Кб (Скачать документ)

                              Действительные числа

 

     

       Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.    

Если и - действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются и

и ab (замкнутость),     (1)

aab ba (коммутативность),     (2)

+ (c) = (b) + ca(bc) = (ab)abc (ассоциативность),     (3)

* 1 = (единица),     (4)

a(c) = ab ac (дистрибутивность),     (5)

;из следует b, из ca cb

, следует (сокращение).     (6)

    

     Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами + 0 = a* 0 = 0 для каждого действительного числа a.

     

      (Единственное) противоположное число -и (единственное) обратное число -1 = 1/для действительного числа определяются соответственно так:                           + (-a) = = 0, aa -1 = 1 ( ).     

  

        Помимо "алгебраических" свойств, класс положительных целых, или натуральных, чисел 1, 2, ... обладает свойством упорядоченности (m, если x, где - некоторое натуральное число) и полной упорядоченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент). Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов следующий за ним элемент + 1, содержит все натуральные числа (принцип полной индукции).    

   

      Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) для каждого натурального числа существует единственное следующее за ним натуральное число S(n); 3)  ; 4) из S(n) = S(m) следует и 5) имеет место принцип полной индукции. (При его формулировке элемент, следующий за n, обозначается через S(n).) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам (1)-(6), определяются "рекуррентными" соотношениями

+ 1 = S(n), 
S(m) = S(m), 
n*1 = n
n*S(m) = n*n.     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Целыми числами называются числа вида n, -и 0, где - натуральное число, а рациональными - числа вида p/q, где и - целые числа и  .     

Действительные  числа можно ввести, исходя из множества  рациональных чисел, с помощью предельного  процесса. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, а действительными трансцендентными числами - остальные действительные числа.     

Класс всех рациональных чисел содержит корни всех линейных уравнений с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые  числа. Класс всех действительных алгебраических чисел содержит действительные корни  всех алгебраических уравнений с  алгебраическими коэффициентами и включает в себя все рациональные числа.      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Отношение равенства. Из следует (симметрия отношения равенства), и ac bc (вообще f(a) = f(b), если f(a) обозначает некоторую операцию, приводящую к единственному результату). Из и следует c (транзитивность отношения равенства). Из   следует   и  .      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Отношение тождества. Вообще говоря, уравнение относительно какой-либо величины или нескольких величин x1x2, ... будет удовлетворяться только при некоторых специальных значениях или специальных множествах значений x1x2, ... Если хотят подчеркнуть тот факт, что какое-нибудь уравнение удовлетворяется при всех значениях или x1x2, ... в известных представляющих интерес пределах, то вместо символа = иногда пользуются символом тождества   (пример: (- 1)(+ 1)   x- 1), а пределы изменения рассматриваемых переменных иногда указывают справа от уравнения. Символ   употребляется также в смысле: "по определению равно b".      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Неравенства. Действительное число может быть положительно (> 0), отрицательно (< 0) или равно нулю (= 0). Сумма и произведение положительных чисел положительны.     

Действительное  число больше действительного числа (ba), если x, где - некоторое действительное положительное число. Из следует cac bc, если > 0, и ac bc, если < 0 (в частности, -< -b), 1/< 1/b, если ab > 0 и 1/> 1/b, если ab < 0.     

Из   и   следует  . Из   и   следует  .

Информация о работе Действительные числа