Понятие логики парадокса

    — Сказанное Платоном — ложно, —  говорит Сократ. 

    — То, что сказал Сократ, — истина, — говорит Платон. 

    Возникает вопрос, кто из них высказывает  истину, а кто ложь? 

    А вот современная перефразировка этого парадокса. Допустим, что на лицевой стороне карточки написаны только слова: «На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание». Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы должны либо обнаружить обещанное высказывание, либо его нет. Если оно написано на обороте, то оно является либо истинным, либо нет. Однако на обороте стоят слова: «На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание» — и ничего более. Допустим, что утверждение на лицевой стороне истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение на лицевой стороне ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным, и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. В итоге — парадокс. 

    Парадокс  «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину. 

    Ходит даже легенда, что некий Филит  Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят  также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись. 

    В средние века этот парадокс был отнесен  к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа. 

    В новое время «Лжец» долго не привлекал  никакого внимания. В нем не видели никаких, даже малозначительных затруднений, касающихся употребления языка. И только в наше, так называемое новейшее время развитие логики достигло наконец уровня, когда проблемы, стоящие, как представляется, за этим парадоксом, стало возможным формулировать уже в строгих терминах. 

    Теперь  «Лжец» — этот типичный бывший софизм — нередко именуется королем  логических парадоксов. Ему посвящена  обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него. 

    Другие  решения парадокса:  

    Итак, существуют высказывания, говорящие  о своей собственной истинности или ложности. Идея, что такого рода высказывания не являются осмысленными, очень стара. Ее отстаивал еще древнегреческий логик Хрисипп. 

    В средние века английский философ  и логик У.Оккам заявлял, что  утверждение «Всякое высказывание ложно» бессмысленно, поскольку оно говорит в числе прочего и о своей собственной ложности. Из этого утверждения прямо следует противоречие. Если всякое высказывание ложно, то это относится и к самому данному утверждению; но то, что оно ложно, означает, что не всякое высказывание является ложным. Аналогично обстоит дело и с утверждением «Всякое высказывание истинно». Оно также должно быть отнесено к бессмысленным и также ведет к противоречию: если каждое высказывание истинно, то истинным является и отрицание самого этого высказывания, то есть высказывание, что не всякое высказывание истинно. 

    Почему, однако, высказывание не может осмысленно говорить о своей собственной  истинности или ложности? 

    Уже современник Оккама, французский  философ XIV в. Ж. Буридан, не был согласен с его решением. С точки зрения обычных представлений о бессмысленности, выражения типа «Я лгу», «Всякое высказывание истинно (ложно)» и т.п. вполне осмысленны. О чем можно подумать, о том можно высказаться, — таков общий принцип Буридана. Человек может думать об истинности утверждения, которое он произносит, значит, он может и высказаться об этом. Не все утверждения, говорящие о самих себе, относятся к бессмысленным. Например, утверждение «Это предложение написано по-русски» является истинным, а утверждение «В этом предложении десять слов» ложно. И оба они совершенно осмысленны. Если допускается, что утверждение может говорить и о самом себе, то почему оно не способно со смыслом говорить и о таком своем свойстве, как истинность? 

    Сам Буридан считал высказывание «Я лгу» не бессмысленным, а ложным. Он обосновывал это так. Когда человек утверждает какое-то предложение, он утверждает тем самым, что оно истинно. Если же предложение говорит о себе, что оно само является ложным, то оно представляет собой только сокращенную формулировку более сложного выражения, утверждающего одновременно и свою истинность, и свою ложность. Это выражение противоречиво и, следовательно, ложно. Но оно никак не бессмысленно. 

    Аргументация  Буридана и сейчас иногда считается убедительной. 

    Имеются и другие направления критики  того решения парадокса «Лжец», которое  было в деталях развито Тарским. Действительно ли в семантически замкнутых языках — а таковы ведь все естественные языки — нет  никакого противоядия против парадоксов этого типа? 

    Если  бы это было так, то понятие истины можно было бы определить строгим  образом только в формализованных  языках. Только в них удается разграничить предметный язык, на котором рассуждают об окружающем мире, и метаязык, на котором говорят об этом языке. Эта иерархия языков строится по образцу усвоения иностранного языка с помощью родного. Изучение такой иерархии привело ко многим интересным выводам, и в определенных случаях она существенна. Но ее нет в естественном языке. Дискредитирует ли это его? И если да, то в какой именно мере? Ведь в нем понятие истины все-таки употребляется, и обычно без всяких осложнений. Является ли введение иерархии единственным способом исключения парадоксов, подобных «Лжецу?» 

    В 30-е годы ответы на эти вопросы  представлялись несомненно утвердительными. Однако сейчас былого единодушия уже  нет, хотя традиция устранять парадоксы  данного типа путем «расслаивания» языка остается господствующей. 

    В последнее время все больше внимания привлекают эгоцентрические выражения. В них встречаются слова, подобные «я», «это», «здесь», «теперь», и их истинность зависит от того, когда, кем, где они употребляются. 

    В утверждении «Это высказывание является ложным» встречается слово «это». К какому именно объекту оно относится? «Лжец» может говорить о том, что слово «это» не относится к смыслу данного утверждения. Но тогда к чему оно относится, что обозначает? И почему данный смысл не может быть все-таки обозначен словом «это»? 

    Не  вдаваясь здесь в детали, стоит  отметить только, что в контексте  анализа эгоцентрических выражений  «Лжец» наполняется совершенно иным содержанием, чем ранее. Оказывается, он уже не предостерегает от смешения языка и метаязыка, а указывает  на опасности, связанные с неправильным употреблением слова «это» и подобных ему эгоцентрических слов. 

    Проблемы, связывавшие на протяжении веков  с «Лжецом», радикально менялись в  зависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или  же как выражение, внешне представляющееся как образец смешения языка и метаязыка, или же, наконец, как типичный пример неверного употребления эгоцентрических выражений. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы. 

    Известный современный финский логик и  философ Г. фон Вригт писал  в своей работе, посвященной «Лжецу», что данный парадокс ни в коем случае не должен пониматься как локальное, изолированное препятствие, устранимое одним изобретательным движением  мысли. «Лжец» затрагивает многие наиболее важные темы логики и семантики. Это и определение истины, и истолкование противоречия и доказательства, и целая серия важных различий: между предложением и выражаемой им мыслью, между употреблением выражения и его упоминанием, между смыслом имени и обозначаемым им объектом. 
 

    Аналогично  обстоит дело и с другими логическими  парадоксами. «Антиномии логики, —  пишет фон Вригг, — озадачили  с момента своего открытия и, вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать их не столько как проблемы, ожидающие решения, сколько как неисчерпаемый сырой материал для размышления. Они важны, поскольку размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления». 

    В заключение этого разговора о «Лжеце» можно вспомнить курьезный эпизод из того времени, когда формальная логика еще преподавалась в школе. В учебнике логики, изданном в конце 40-х годов, школьникам восьмого класса предлагалось в качестве домашнего задания — в порядке, так сказать, разминки — найти ошибку, допущенную в этом простеньком на вид утверждении: «Я лгу». И, пусть это не покажется странным, считалось, что школьники в большинстве своем успешно справлялись с таким заданием. 

    Парадокс  Рассела (О парикмахере) 

    Другой  известный логический парадокс, обнаруженный в XX в. английским логиком и философом Бертраном Расселом⁴, – это парадокс «деревенского парикмахера». Представим, что в некой деревне есть только один парикмахер, бреющий тех ее жителей, которые не бреются сами. Анализ этой незамысловатой ситуации приводит к необыкновенному выводу. Зададимся вопросом: может ли деревенский парикмахер брить самого себя? Допустим, что деревенский парикмахер сам себя бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые бреются сами и которых не бреет парикмахер, следовательно, в этом случае он сам себя не бреет. Допустим, что деревенский парикмахер сам себя не бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые не бреются сами и которых бреет парикмахер, следовательно, в этом случае он сам себя бреет. Получается невероятное: если деревенский парикмахер сам себя бреет, то он сам себя не бреет; а если он сам себя не бреет, то он сам себя бреет (два противоречащих суждения являются одновременно истинными и взаимообусловливают друг друга). 

    Петля рассуждения замыкается невозможным  образом: на новом уровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом  деле относится к первоначальному  иерархическому уровню. Так получилось и с парадоксом лжеца. 

    Парадокс  Маннури (О мэре)  

    Похожим на предыдущий парадокс является парадокс "О мэре" голландского математика Геррита Маннури (1867-1956). В этом парадоксе  речь идет о стране, состоящей из отдельных областей. Каждая из которых  имеет мэра, который, однако, не обязательно  должен жить в той же области, которой он управляет. На основании этой оговорки всех мэров можно разделить на две категории. К одной из них относятся те мэры, которые живут в той же области, которой они управляют, — их мы назовем "хорошими"; к другой относятся все те, которые не живут в той области, которой они управляют, — этих мы назовем "плохими".  

    Известно  также, что президент страны выделил  для плохих мэров отдельную область  и издал приказ, обязывающий всех плохих мэров переселиться именно в  эту новую область. Кроме того в приказе было сказано, что в новой области никто кроме плохих мэров проживать не может. Очевидно, новая область должна была иметь и своего мэра. В связи с этим спрашивается: каким будет этот мэр — хорошим или плохим?  

    Если  он хороший, то он должен жить в той области, которой он управляет, но там он жить не может, так как эта область создана только для плохих мэров, а он, по предположению, хороший.  

    Если  же он плохой, то с одной стороны  из определения понятия "плохой" следует, что он не должен жить в той области, которой он управляет, а с другой стороны он должен жить именно в этой области, так как она специально создана для плохих мэров. 

    Таким образом, возникает та же самая неразрешимая ситуация: мэр особой области не может быть ни хорошим, ни плохим; и не может жить ни в самой этой области, ни вне ее. В чем же дело?  

    Причина парадокса в том, что иерархические  уровни опять оказались спутанными. В данном случае все жители рассматриваемого государства распадаются на три  категории: обыкновенные граждане, мэры обычных областей, и мэр той особой области, в которой живут все плохие мэры.  

    Мэр особой области существенно отличается от остальных мэров: обычные мэры управляют гражданами, а мэр особой области управляет мэрами — это  новый, более высокий иерархический уровень. Свойства "быть плохим мэром" и "быть хорошим мэром" пригодны только для характеристики обычных мэров, а мэр особой области относится к другой категории, — его характеризуют другие свойства, и поэтому бессмысленно спрашивать, хороший он, или плохой. Выявленное противоречие как раз и показывает, что он не может быть ни тем, ни другим.