Паранепротиворечивая логика

       Введение

       Наука непримирима к противоречиям  и успешно борется с ними. Но в жизни многих научных теорий, особенно в начале их развития, имеются периоды, когда они не свободны от внутренних противоречий.

       Логика, требующая исключения противоречий, должна считаться с этим обстоятельством. К тому же, ей самой присущи внутренние противоречия (логические парадоксы), периодически доставляющие немало беспокойства.

       Классическая  логика подходит к противоречиям  несколько прямолинейно. Согласно одному из ее законов, из противоречия следует все, что угодно. Это означает, что противоречие запрещается, притом запрещается под угрозой, что в случае его появления в теории окажется доказуемым любое утверждение. Очевидно, что тем самым теория будет разрушена.

       Однако  реально никто не пользуется этим разрешением выводить из противоречий все, что попало. Практика научных рассуждений резко расходится в данном пункте с логической теорией.

       В качестве реакции на это рассогласование  в последние десятилетия начали разрабатываться различные варианты так называемой паранепротиворечивой логики. Несколько необычное ее название призвано подчеркнуть, что она иначе трактует противоречие, чем классическая логика. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Паранепротиворечивая  логика

    «Паранепротиворечивая логика – логика, не позволяющая выводить из противоречия произвольное предложение. В логике классической некоторая теория называется противоречивой, когда в ней можно доказать одновременно и предложение, и его отрицание. Если при этом в теории можно доказать и произвольное предложение, она называется тривиальной. Паранепротиворечивая логика трактует противоречие иначе, чем классическая логика. Исключается возможность выводить из противоречий любые предложения, противоречие перестает быть угрозой разрушения теории. Этим не устраняется, конечно, принципиальная необходимость избавляться от противоречий в ходе дальнейшего развития теории. Такой подход к противоречию сложился относительно недавно»¹.

       Предшественниками паранепротиворечивой логики как нового вида неклассической формальной логики явились логики Н. А. Васильева и Я. Лукасевича. Как новый вид математической логики паранепротиворечивая логика разрабатывалась в работах польского логика Ст. Яськовского (1948 г.) и бразильского математика Ньютона да Коста (начиная с 1958 г.) История паранепротиворечивой логики изложена бразильским логиком А. И. Аррудой в работе «Обзор паранепротиворечивой логики. Математическая логика в Латинской Америке».

    В конце 40-х годов польским логиком  С. Яськовским (1906—1965 гг.) была построена «логика дискуссии», не позволяющая выводить из противоречия произвольные предложения. Более совершенная версия паранепротиворечивой логики была предложена позднее бразильским логиком Н. да Костой. Паранепротиворечивой является также релевантная логика, в которой новая трактовка противоречия оказалась естественным следствием решения другой задачи — более адекватной, чем в классической логике, формализации условного высказывания. О новом отношении к противоречию и возможности логики без непротиворечия закона еще в начале 20 века говорили русский логик Н. А. Васильев (1880-1940 гг.) и польский логик Я. Лукасевич (1878-1956 гг.).

       Паранепротиворечивая  логика представляет одно из направлений современной неклассической математической логики. Объективной основой появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и относительным покоем наблюдаются в природе, обществе и познании. В природе и обществе происходят изменения, предметы и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, промежуточные ситуации, неопределенность в познании, переход от незнания или неполного знания к более полному и точному. Действие законов двузначной логики - закона исключенного третьего и закона непротиворечия - в этих ситуациях ограничено или вообще исключено. На необщезначимость этих законов указывал еще Аристотель. Говоря о будущих единичных случайных событиях, по Аристотелю, нельзя считать суждение истинным или ложным, оно неопределенно.

       Закон непротиворечия утверждает, что два  противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении. Но в разное время они могут быть оба истинными. Аристотель писал: «Все изменяющееся необходимо должно быть делимым... необходимо, чтобы часть изменяющегося предмета находилась в одном (состоянии), часть - в другом, так как невозможно сразу быть в обоих или ни в одном».

       Вследствие  неопределенности интервалов и неопределенности состояний изменяющегося предмета предполагается временная интервальная паранепротиворечивая семантика, допускающая истинность как высказывания А, так и не-А. Кроме временных интервалов с переходными состояниями, наше мышление имеет дело с так называемыми нечеткими понятиями (нежесткими, расплывчатыми, размытыми – т.н. «fuzzy»), отражающими нежесткие множества, концепция которых предложена в 1965 г. американским математиком Л. Заде. Все это обусловило необходимость и возможность появления паранепротиворечивых логик (paraconsistent logics) -логических исчислений, которые могут лежать в основе противоречивых формальных теорий. Противоречивые данные возникают на судебных заседаниях, в дискуссиях, полемике, при постановке диагноза болезни, в научных теориях (прежних и новых), в ситуациях, связанных с решением нравственных проблем, в других сферах интеллектуальной деятельности. В связи с этим встала проблема создания информационной системы, работающей с противоречивыми данными.

       Как уже было сказано, в данном типе логики исключается возможность выводить из противоречий любые утверждения. Доказуемость в теории противоречия перестает быть смертельно опасной угрозой, нависшей над ней. Этим не устраняется, конечно, принципиальная необходимость избавляться от противоречий в процессе дальнейшего развития теории. Интересно отметить, что одним из первых (еще в 1910 г.) сомнения в неограниченной приложимости закона непротиворечия высказал русский логик Н.А.Васильев. «Предположите, — говорил он, — мир осуществленного противоречия, где противоречия выводились бы, разве такое познание не было бы логическим?» Васильев писал не только научные статьи, но и стихи. В них иногда своеобразно преломлялись его логические идеи, в частности идея воображаемых (возможных) миров:

       Мне грезится безвестная планета,

       Где все идет иначе, чем у нас.

       В качестве логики воображаемого мира он и предложил свою теорию без закона противоречия, долгое время считавшегося центральным принципом логики. Васильев полагал необходимым ограничить также действие закона исключенного третьего и в этом смысле явился одним из идейных предшественников интуиционистской логики.

       Новаторские идеи Васильева не были поняты современниками. Они истолковывались неверно, объявлялись  безграмотными. Васильев тяжело переживал подобную «критику» и вскоре оставил занятия логикой. Потребовалось полвека, прежде чем его «воображаемая логика» без законов противоречия и исключенного третьего была оценена по достоинству.

       В паранепротиворечивых системах принцип (закон) непротиворечия лишен всеобщей значимости. Логике не присущи ни единство, ни абсолютность - эту мысль мы встречаем у многих современных логиков, в том числе у Н. да Косты. В статье, написанной специально для журнала «Философские науки», «Философское значение паранепротиворечивой логики» Н. да Коста пишет: «Допустим, что имеющийся у нас язык дедуктивной теории Т содержит в себе символ отрицания. Т называют противоречивой (inconsistent) теорией, если и только если в Т имеются две теоремы, одна из которых есть отрицание другой; в противоположном случае Т считается непротиворечивой (consistent). Т считают тривиальной, если и только если все формулы (или все высказывания [sentences]) языка Т являются также теоремами Т; в противном случае мы называем Т нетривиальной... Система логики паранепротиворечива, если она может быть использована как логика, лежащая в основе противоречивых, но нетривиальных теорий». Н. да Коста полагает, что вместо стандартных теорий множеств могут быть использованы паранепротиворечивые теории множеств. Система паранепротиворечивой логики в общем случае должна удовлетворять следующим условиям:

       1) из двух противоречащих формул А и и не-А в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В;

       2) дедуктивные средства классической  логики должны быть максимально сохранены, поскольку они - основа всех обычных рассуждений. В первую очередь должен быть сохранен modus poaens, т. е. рассуждение по формуле:       ((а > b)^ а) > b.

       Паранепротиворечивая  логика связана со многими видами неклассических логик: с модальной логикой (системой S5 К. И. Льюиса), с многозначными логиками, с релевантной логикой, где тоже не принимается принцип: «из противоречия следует все, что угодно». Исследование многозначных логик показало, что закон непротиворечия, т. е. формула , не является тавтологией в следующих системах: трехзначных логиках - Я. Лукасевича, Г. Рейхенбаха (для циклического и диаметрального отрицаний), Р. П. Гудстейна, Д. Бочвара (для внутреннего отрицания); т-значной логике Э. Л. Поста. Автор одного из лучших современных учебников по логике А.Д. Гетманова  по ее утверждению, «исследовала 13 формализованных логических систем с 17 имеющимися в них видами отрицания и установила, что для 10 видов закон непротиворечия является тавтологией (доказуемой формулой), а для остальных 7 нет. Это обусловлено тем, что, кроме значений истинности – «истина» и «ложь», в многозначных логиках имеется значение «неопределенно»². Но в классической, конструктивных и интуиционистской логиках от закона непротиворечия нельзя отказаться, ибо в этих логиках отражены жесткие ситуации «или – или» («истина – ложь»), конструктивный процесс присутствует или его нет, одновременно того и другого не бывает. Поэтому классическая, интуиционистская, конструктивная и ряд других логик не годятся в качестве логик, которые могут быть основанием противоречивых, но нетривиальных теорий. Положительные логики также для этого не годятся, ибо в них нет операции отрицания. Некоторые современные логики (например, немецкий логик К. Вессель) не признают паранепротиворечивых логик. Построением паранепротиворечивых логических систем занимаются, однако, отечественные логики А. С. Карпенко, А. Т. Ишмурагов и другие.

       Интересны и оригинальны статьи американского  математика Н. Белнапа «Как нужно рассуждать компьютеру» (1976) и «Об одной полезной четырехзначной логике» (1976), посвященные формализации общения с информационными системами, в которых содержится противоречивая информация. Белнап построил четырехзначную логику, значениями истинности которой являются следующие: Т – «говорит только Истину»; F – «говорит только Ложь»; None – «Не говорит ни Истины, ни Лжи»; Both –«говорит и Истину, и Ложь». Н. Белнап отмечает, что входные данные поступают в компьютер из нескольких независимых источников, и в таких условиях проявляется типичная особенность информационной ситуации - угроза противоречивости информации. Что в таком случае должен делать компьютер, особенно если в системе содержится необнаруженное противоречие? Свою четырехзначную логику Белнап и предлагает в качестве практического руководства в рассуждениях.

       Вывод: паранепротиворечивые логики демонстрируют возможность наличия очень сильных противоречивых, но нетривиальных (т. е. паранепротиворечивых) теорий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Паранепротиворечивая  логика Васильева.

       Одним из наиболее ярких новаторов в  логической мысли начала 20 века был, как известно, Н.А. Васильев (1880—1940), мыслитель, логические работы которого в конце прошлого века  были опубликованы в одной книге³.

       Математики, математические логики, философы единодушно связывают концепции Васильева с математико-логической неклассичностью. Так, Н.Н. Лузин, автор отзыва о работах казанского ученого «по математической логике» (слова Лузина), вводил идеи Васильева в контекст теоретических представлений Брауэра, Г. Вейля и Бореля: «... в настоящее время, — писал Лузин, — дело идет о создании для математики новой логики, такой, где закон исключенного третьего уже не входит как непременно долженствующий соблюдаться. Работы Н.А.Васильева посвящены созданию такой точно логики»⁴. Польский математический логик Леон Хвистек назвал «систему профессора Н.А. Васильева» — «самой старой» из систем многозначных логик, считая, что Васильев в данной области явился предшественником Лукасевича и Поста. А.И. Мальцев также ставит имя Васильева в ряд с именами Брауэра, Лукасевича и Поста.

       Мысли о том, что Н.А. Васильев явился одним из создателей многозначной (а именно трехзначной) логической системы придерживаются не только Хвистек и Мальцев, но практически все, кто рассматривает Васильевскую концепцию.