БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

Факультет прикладной математики и информатики 

Кафедра методов оптимального управления 
 
 
 
 
 

Огоновская Екатерина Брониславовна 

Теория  Марковица.

  Эффективные портфели.

Курсовая  работа

студента 4 курс 11 группы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

«Допустить к  защите»       Руководитель

С предварительной  оценкой     Павленок Наталья Сергеевна

Руководитель  работы      канд. Физ.-мат. наук 
 

 
 
 
 
 
 
 

      Минск 2010 
 

Содержание

Введение 3

1. Теория Марковица 4

2. Кривые безразличия 4

3. Эффекты портфельного инвестирования 6

4. Свойства эффективных портфелей. 7

Заключение 10 

 

            Введение

 

   В 1952 г. Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Эта работа была оценена сообществом инвесторов, и в 1990 году Гарри Марковицу была присуждена Нобелевская премия. 

1. Теория  Марковица

      Подход  Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения (holding period). В конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего, либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в ценные бумаги (либо делает и то и другое одновременно).

      Принимая  решение о формировании портфеля, инвестор должен иметь в виду, что  доходность ценных бумаг (и, таким образом, доходность портфеля) в предстоящий  период владения неизвестна. Однако инвестор может оценить ожидаемую (или  среднюю) доходность (expected returns) ценных бумаг, основываясь на некоторых предположениях, а затем инвестировать средства в бумагу с наибольшей ожидаемой доходностью. Марковиц отмечает, что это будет в общем неразумным решением, так как типичный инвестор хотя и желает, чтобы "доходность была высокой", но одновременно хочет, чтобы "доходность была бы настолько определенной, насколько это возможно". Это означает, что инвестор, стремясь одновременно максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать неопределенность (т.е. риск (risk)), имеет две противоречащие друг другу цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке. Подход Марковица к принятию решения дает возможность адекватно учесть обе эти цели. Еще этот подход называют «доходность -риск».

      Марковиц утверждает, что инвестор должен основывать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении. Это означает, что инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля, а затем выбрать "лучший" из них, основываясь на соотношении этих двух параметров. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение - как мера риска, связанная с данным портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель был исследован в смысле потенциального вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим.

2. Кривые  безразличия

 

      Метод, с помощью которого можно определить местоположение портфеля для конкретного  инвестора, основан на использовании  так называемых кривых безразличия (indifference curves).Эти кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности и могут быть представлены как двухмерный график, где по горизонтальной оси откладывается риск, а по вертикальной - ожидаемая доходность.

      Кривые  безразличия  инвестора обладают следующими свойствами:

1. Каждая кривая линия описывает множество равноценных портфелей с характеристиками доходность и риск, соответствующих заданному уровню притязаний инвестора, и, следовательно, кривые одного инвестора не могут пересекаться.
2. Портфели, лежащие выше и левее, являются более привлекательными, чем портфели, располагающиеся ниже и правее. Так, изображенные на рис.1 портфели А и В являются равноценными, портфель С является более привлекательным, чем портфели А и В, а те, в свою очередь, привлекательнее портфеля D.
3. Каждый инвестор имеет бесконечно много кривых безразличия, т.е. ему соответствуют так называемые карты кривых безразличия.
4. Кривые безразличия для инвесторов, избегающих риска в различной степени, т.е. различающихся склонностью к риску, имеют различный угол наклона.(смотреть рис.2).

  

      

      Рис.1 Кривые безразличия при подходе  «доходность-риск»

      

      Рис.2. Кривые безразличия инвесторов, склонных к разной степени риска. а) невысокая  склонность б) средняя склонность в) высокая склонность

Инвестор  выбирает свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых: обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности. Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством (efficient set).

3. Эффекты портфельного инвестирования

 

   Проиллюстрируем на примерах «эффекты портфеля», которые можно получить за счет диверсификации или учета корреляции доходностей ценных бумаг. 

1. Эффект  диверсификации портфеля ценных бумаг.

   Пусть доходности бумаг взаимно некоррелируемы. Тогда ожидаемая доходность будет равна среднему арифметическому значению доходностей ценных бумаг. И тогда для риска у нас существует верхняя граница. И из этого следует что риск портфеля при возможности неограниченной диверсификации может быть сколь угодно малым. Это свойство известно как эффект диверсификации портфеля. Оно означает, что для уменьшение риска вложений целесообразно распределять капитал среди возможно большего числа активов., доходности которых можно рассматривать как независимыми. 

2. Эффект  положительной корреляции.

   В этом случае доходности зависимы. Если доходности различных ценных бумаг связаны  прямой зависимостью, то риск будет  равен среднему арифметическому. Следовательно, в случае положительной зависимости  доходностей ценных бумаг эффект диверсификации портфеля ценных бумаг  не наблюдается, а происходит лишь усреднение рисков вложений в отдельные активы.

3. Эффект отрицательной корреляции.

   В отличие  от положительной корреляции отрицательная  корреляция доходностей ценных бумаг  приводит к уменьшению риска портфеля.

4. Свойства  эффективных портфелей.

 

   Портфели  оптимальные в смысле задачи Марковица называются эффективными или оптимальными по Марковицу. 

   Осуществим  качественный анализ решения задачи Марковица и запишем некоторые свойства:

1. С увеличением ожидаемой доходности портфеля вклады в ценные бумаги при возможности операции «короткая продажа» изменяются линейно: увеличиваются для более доходных и уменьшаются для менее доходных активов. При невозможности данной операции,  доли активов в портфеле имеют кусочно-линейные изменения.
2. Риск оптимального портфеля возрастает вместе с ростом ожидаемой доходности. При возможности операции «короткая продажа» возможно достижение сколь угодно высокой доходности при соответственно растущем риске. При невозможности данной операции, максимальной доходностью обладает портфель, состоящий из активов более высокой доходности (на рис. 3 такому портфеля соответствует точка А).Таким образом из формулы (10) следует, что 10 функция , описывающая зависимость между риском и доходностью оптимальных портфелей, является выпуклой вниз и имеет положительный наклон. (рис.3). Причем, если , -функции, соответствующие предположениям о возможности и невозможности операции «короткая продажа», то имеет место соотношение  . Это означает, что при использовании операции «короткая продажа» всегда можно построить более эффективный портфель за счет решения задачи оптимизации на более широком множестве портфелей.
3. Эффективный портфель рисковых ценных бумаг будем называть «глобальным» эффективным портфелем (рис.4- точка G).
4. Эффективные портфели обладают двумя свойствами оптимальности:

1. Имеют максимальную доходность среди всех достижимых портфелей с одинаковым риском (например, если А-эффективный портфель с характеристиками то для любого достижимого портфеля с характеристиками при .

2)Имеют минимальный  риск среди всех достижимых  портфелей с одинаковой доходностью  (если С- эффективный портфель с характеристиками , то для любого достижимого портфеля с характеристиками).  

Рис.3.  Графики  зависимости риска эффективного портфеля от его ожидаемой доходности при возможности и невозможности  операции «короткая продажа» 

Рис.4. Фронт  эффективных портфелей: А, С- эффективные портфели, G- «глобальный » эффективный портфель, В -неэффектиный портфель.

      Множество всех эффективный портфелей с  характеристиками в системе координат «доходность-риск» описывается кривой, известной как фронт эффективный портфелей, ограничивающей множество всех портфелей, достижимых на множестве из n ценных бумаг.

      На  рис 4. Фронту эффективный портфелей  соответствует отрезок кривой от точки G (включая «глобальный» портфель G) до точки А и выше. Портфели, лежащие на отрезке кривой от точки G до точки В и ниже, не являются эффективными. Портфели, лежащие в заштрихованной области, ограниченной кривой (включая саму кривую), образуют множество достижимых портфелей.

      Таким образом в результате решения задачи Марковица инвестор получает не один, а бесконечное множество эффективных портфелей. Индивидуальные предпочтения инвестора при выборе единственного оптимального в смысле подхода «доходность-риск» портфеля могут быть учтены с использованием кривых безразличия данного инвестора.

      Пусть приемлемые для инвестора портфели, соответствующие различным уровням  его притязаний, описываются кривыми ,.

      Фронту  эффективный портфелей соответствует кривая G-А. Портфели, принадлежащие кривой безразличия , недостижимы. Среди достижимых и приемлемых для инвестора портфелей эффективными являются портфели А,С,D.. Однако более эффективным среди них является портфель С, поскольку лежит на кривой безразличия что выше и левее кривой

      Таким образом, оптимальным для конкретного  инвестора является портфель С, соответствующий точке касания фронта эффективных портфелей и кривой безразличия данного инвестора.

 

Заключение

 

      Кривая  эффективной границы — скорее инструмент проверки или предварительной  оценки. Составляя долговременный портфель, нужно учесть гораздо больше параметров: фундаментальный анализ, возможный  upside, рекомендации аналитиков, и новостной фон тут зачастую играют большую роль, чем рекомендации теории Марковица. Но это не значит, что труды нобелевского лауреата можно списать в утиль. Как отдельный фрагмент формирования портфеля методика может оказаться хорошим подспорьем.