Контрольная работа по "Финансовой математике"

6)проанализировать  доходность вариантов. 

Решение:

1) Наращенная  стоимость по простой процентной  ставке:

S = 10 000*(1*0,6) + 10 000*(0,5*0,65) + 10 000*(0,5*0,70) + 10 000*(0,5*0,75) + 10 000 = 26500 руб.

Наращенная  стоимость по простой учетной  ставке:

S = P/(1-d T )

S1год = 10 000/(1 - 0,6*1) = 25000 руб.

Проценты I 1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

S3полугод = 10 000/(1 - 0,65*0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

I 3полугод  = 14 815 – 10 000 = 4 815

S4полугод = 10 000/(1 - 0,7*0,5) = 15385 руб.

I 4полугод  = 15385 – 10000 = 5385

S5полугод = 10 000/(1 - 0,75*0,5) = 16 000

I 5полугод  = 16 000 – 10 000 = 6000 руб.

Суммарная наращенная стоимость по учетной  ставке:

S = 15 000 + 4815 + 5385 + 6000 = 31200 руб.  

2) составить  план наращения первоначальной  стоимости по простым процентам; 

 

3) рассчитать  наращенную стоимость облигации  по сложной процентной и учетной  ставкам;

При начислении сложных процентов применяется  формула

S = P(1+i₁ t₁)·(1+ i₂ t₂)·(1+ i₃ t₃)·(1+ i_n t_n)

S = 10 000 * (1 + 0,6*1)*(1 + 0,65*0,5)*(1 + 0,7*0,5)*(1 + 0,75*0,5) = 39 352 руб.  

Сложная учетная ставка:

S = 

S1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹ = 25000 руб.

S3полугод = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5 = 42258 руб.

S4полугод = 42258/ (1 – 0,7)^0,5 = 77152 руб.

S5полугод = 77152 / (1 – 0,75)^0,5 = 154304 руб. 

4) составить  план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам; 

 

5) построить  график наращения стоимости по простым и сложным процентам; 

 

     6) проанализировать доходность вариантов  наращения стоимости с позиций  кредитора и заемщика.

     После первого года простая учетная  ставка и сложные учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на это этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгодна кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 лет.

     Из  графика ясно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант  сложной учетной ставки. Затем  идут сложные проценты, простая учетная  ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

     Для заемщика ситуация противоположна –  наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна  сложная учетная ставка.

     Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой  дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом. 

№7. Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых. 

Решение:

Сначала определим число лет при начислении простых процентов.

Формула простых процентов:

P_n = P(1+ni), где

P_n – наращенная сумма,

i  - ставка  процента,

P –  изначальная сумма,

n  - число периодов начисления.

Составим  уравнение.

Первоначальный  капитал увеличится в 5 раз, следовательно  P_n = 5P 

5P = P(1 + n*0,15)

1 + n*0,15 = 5

0,15n = 4

n = 26,7 т.е. примерно через 26,7 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах. 

Формула сложных процентов:

P_t = P(1 + i)^t, где

t  - количество  периодов наращения,

i  - ставка  процента,

P –  изначальная сумма,

P_t – наращенная сумма.

Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно P_n = 5P 

5P = P(1 + 0,15)^t

(1,15)^t = 5

t = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах 

№8.Вексель  с обязательством 15 тыс. руб. учитывается  банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента. 

Решение:

Формула расчета дисконта банка:

D = d*S*n, где

d –  годовая учетная ставка,

n –  срок до даты учета,

S –  наращенная сумма.

d = D/ S*n

d = 3 000 / 15 000 * 3/12 = 0,8 т.е. 80 %

 

Другой  способ:

P = S(1 - dt), где

d –  банковский дисконт,

t – временная база,

 

12 = 15 (1 – d*0,25)

d*0,25 = 0,2

d = 0,8

 

№9. Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.

 

Решение:

     По-видимому, в условии пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых.

Тогда:

P = S(1 - dt)

P = 5 000 (1 – 0,1*5) = 2500 руб. – при простых процентах

P = S(1 - d)ⁿ

P = 5000 (1 – 0,1)⁵ = 2952 руб. – при сложных процентах

 

№10. Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 80% годовых.

 

Решение:

Простые проценты:

P_n = P(1+ni) для простых процентов неважно, сколько раз в год начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма будет та же)

P_n = 10 000 000 (1 + 2*0,8) = 26000000 руб.

Сложные проценты:

P_t = P(1 + i)^t, процентная ставка за квартал t = 80/4 = 20%

P_t = 10 000 000 (1 + 0,2)^2*4 = 42 998 169,6 руб.

 
 
 
 
 
 

 

Полученные  результаты: