Контрольная по "Финансовой математике"

Вариант 10

 

Задача 10.

Инвестируемая сумма 625 у. д. е. позволяет под 25 % годовых получить через 2 месяца X  у. д. е. и затем ещё через 10 месяцев – 700 у. д. е. Найти X.

Решение:

Накопление за год А_год определим по формуле:

где, Р – инвестируемая сумма; i – годовая ставка; t – период времени.

Получим   А_год = 625(1 + 0,25∙ 1) = 781,25.

Тогда  Х = 781,25 – 700 = 81,25

 

Задача 11.

Вексель с номинальной  стоимостью 100 x + 400 у. д. е. с процентной ставкой (0,1 у +12) % годовых сроком на Z + 70  дней продаётся через 40 – z дней после подписания векселя банку с учётной ставкой (10 – 0,1 у) % годовых. Найти норму прибыли продавца и банка, если x – номер варианта, y – пятая цифра, z – четвёртая цифра зачётной книжки (х = 10, у = 1, z = 0).

Решение: Найдём фактическую стоимость векселя по формуле:

Чтобы найти цену продажи, необходимо дисконтировать фактическую стоимость   по формуле:

Норма прибыли, находится по формуле:

Где С₀ – начальная сумма; – накопленная сумма, – время накопления.

Тогда норма прибыли продавца:

Норма прибыли банка:

 

Задача 21.

Найти текущую стоимость суммы 3000 у.д.е. за 5 лет, если коэффициент накопления имеет вид:

Проверить выполнение принципа согласованности.

Решение: Накопление капитала находится по формуле:

Тогда текущая стоимость  за 5 лет:

Проверим принцип согласованности по формуле:

Допустим, что t₀ =0, t₁ = 3, t₂ = 2, тогда

А(t₀, t₁) = e^0,05∙5 = 1,1618,  A(t_1, t₂) = e^0,05∙2 = 1,1052,  A(t_0, t₂) = e^0,05∙5 = 1,2840

1,2840 = 1,1618 ∙ 1,1052

Условие согласованности выполняется.

 

Задача 31.

Дана постоянная сила процента в год. Найти  эквивалентные ей годовую учётную ставку и годовые процентные ставки, конвертируемые раз в день и в квартал.

Решение: Если сила процента постоянна, то есть , то дисконтирующий множитель находим по формуле:

Отсюда годовая учётная  ставка

Годовые процентные ставки конвертируемые раз в день и в квартал найдём по формулам:

 и

Годовая процентная ставка, конвертируемая раз в день:

Годовая процентная ставка, конвертируемая раз в квартал:

 

Задача 41.

Мистер А обязуется  уплатить мистеру В 300 у. д. е. через 3 месяца и 500 у. д. е. через 6 месяцев от момента времени при фактической процентной ставке 2 % в квартал. Однако мистер А хотел бы составить такую схему платежей, которая соответствовала бы его регулярным ежеквартальным доходам, а именно: первый платёж производится немедленно, а остальные два – в конце каждого квартала. Какой должен быть размер регулярного платежа?

Решение:

Представим данную сделку как поток наличности:

Найдём текущую стоимость на момент времени t = 0 для дискретного потока наличности по формуле:

где – дисконтирующий множитель.

Получим:

А(0) = 300 ∙ е ^0,02 + 500 ∙ е ^{0,02 ∙ 2} = 300 ∙ 1,0202 + 500 ∙ 1,0408 = 826,5

Разделим эту сумму на 3 квартала, получим размер регулярного платежа:

826,5 : 3 = 275,5 у.д.е.

 

Задача 51.

Заданы сделки в виде дискретных потоков наличности, определённых таблицами:

			,

 

 где – доходы или расходы, выраженные в условных денежных единицах; соответственно t_j – моменты времени, в которые происходят поступления или выплаты денег.  Требуется: а) составить уравнение стоимости;  б) определить,  имеет ли сделка доходность; в)  решить уравнение стоимости,  если сделка имеет доходность, и вычислить с точностью до одного процента.

 

–5	3	–2	9
1	3	4	6

 

Решение:

а) Уравнение стоимости для данной сделки имеет вид:

Или:  –5(1 + i) ^–1 + 3(1 + i) ^–3 – 2(1 + i) ^–4 + 9(1 + i) ^–6 = 0

Упростим  данное уравнение, умножив обе его части на множитель (1 + i)⁶. Получим:  – 5(1 + i)⁵ + 3(1 + i)³ – 2(1 + i)² + 9 = 0

б) По правилу 1 вычислим итоговые суммы:

   

Таким образом, последовательность   

имеет одну перемену знака (вначале следуют отрицательные члены, затем положительные), причём .  Сделка имеет доходность.

в) Для  нахождения доходности воспользуемся методом бисекции или деления отрезка пополам. Введём функцию:

f(i) =  –5(1 + i)⁵ + 3(1 + i)³ – 2(1 + i)² + 9 = 0

Решение уравнения будем  искать при  . Найдём вначале интервал, на концах которого функция принимает значение противоположных знаков. Тогда, как известно, корень находится внутри найденного интервала. Такой интервал находится подбором:

f(0) = –5 + 3 – 2 + 9 = 5 > 0

f(0,2) = –5 ∙ 1,2⁵ + 3 ∙ 1,2³ – 2 ∙ 1,2² + 9 = –1,1376 < 0

Следовательно, в качестве исходного интервала можно взять (0; 0,2). Найдём середину этого интервала i₁ = 0,1 и вычислим значение функции в этой точке:

f(0,1) = –5 ∙ 1,1⁵ + 3 ∙ 1,1³ – 2 ∙ 1,1² + 9 = 2,52045 > 0

Теперь из двух интервалов (0; 0,1) и (0,1; 0,2) выберем тот, на концах которого функция принимает значение различных знаков. Этот интервал (0,1; 0,2). Повторяя этот процесс, выберем середину последнего интервала и найдём . Аналогично, новый интервал, будет (0,15; 0,2). Возьмём его середину  . Тогда и новый интервал будет (0,15; 0,175). Его середина . Далее, ,  новый интервал (0,1625; 0,175). Решим теперь вопрос о точности вычисления и, тем самым, о прекращении указанного процесса. На концах интервала (0,1625; 0,175) функция принимает значения разных знаков, следовательно, . Кроме того, длина данного интервала равна 0,0125. Поэтому, если в качестве приближённого значения взять середину интервала, то погрешность будет меньше половины, то есть меньше 0,006 и, следовательно, меньше заданной точности . Итак,

Доходность сделки равна 17 %.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Бадюков В. Ф. Финансовая математика: учебное пособие / В. Ф. Бадюков, С. Ю. Серкин. –  Хабаровск: ХГАЭП, 2009.
2. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика: учебное пособие для вузов / Б. Т. Кузнецов. – М.: ЭКЗАМЕН, 2005.
3. Лукашин Ю. Ф. Финансовая математика: учебное пособие / Ю. Ф. Лукашин. – М.: ЭКЗАМЕН, 2004.